Novembre 9 Introduzione al corso 9 Serie di Fourier 10 Conv. puntuale serie Fourier 10 Disug. di Bessel 11 Conv. uniforme e integrabilita` serie di Fourier 11 Introduzione agli spazi metrici 17 Metriche in R^n, successioni 17 Spazi normati 18 Spazi normati 18 Spazi di Banach 24 Teorema delle contrazioni, funzioni Lipschitziane 24 Compattezza 25 Insiemi connessi di R^n Dicembre 1 Aperti connessi 1 Teorema di Ascoli-Arzela` 2 Funzioni da R^n a R. Continuita` e derivabilita` 2 Differenziale 15 Teorema del differenziale 15 Funzioni composte 16 Derivate direzionali 16 Funzioni a gradiente nullo in un connesso 21 Teorema di Lagrange e Polinomi di Taylor 21 Regolarita` di funzioni definite mediante un integrale Gennaio 12 Massimi e minimi 12 Condizioni necessarie 13 Condizione sufficiente 13 Principio di massimo per le funzioni armoniche 19 Funzioni a valori vettoriali 19 Introduzione alle equazioni differenziali ordinarie 20 Problema di Cauchy 21 Teorema di esistenza e unicita` in piccolo 26 Prolungamento delle soluzioni 26 Esistenza del prolungamento massimale. Pennello di Peano 27 Esistenza in grande 27 Condizione suff. per la lipschitzianita'; regolarita' della soluzione Febbraio 2 Sistemi di equazioni differenziali lineari (1) 2 Sistemi di equazioni differenziali lineari (2) 3 Equazioni lineari del primo ordine 3 Matrice fondamentale per sistemi del primo ordine 9 Il Wronskiano 9 Studio qualitativo della soluzione di una ODE 10 Studio qualitativo della soluzione di una ODE: esempi 10 Studio qualitativo della soluzione di una ODE: esempi 16 Curve: introduzione 16 Curve: prime definizioni e esempi 17 Curve piane. Curve in coordinate polari 17 Lunghezza di una curva 23 Integrale curvilineo 23 Esempi 24 Curve in R^2 24 Curve in R^3 Marzo 1 Misura di Peano-Jordan 1 Misura di Peano-Jordan 2 Misura di Lebesgue 2 Misura di Lebesgue 8 Ulteriori considerazioni sulla misura di Lebesgue 8 Un insieme non misurabile secondo Lebesgue 9 Integrale di Riemann 9 Funzioni misurabili secondo Lebesgue 14 Frattali, insieme di Cantor e curva di Von Koch 14 Dimensione topologica, di autosimilarita' e di Hausdorff 16 Funzioni semplici 16 Integrale di Lebesgue 21 Teorema della convergenza monotona 21 Lemma di Fatou. Esempi 22 Teorema della convergenza dominata 22 Calcolo di misure. Teorema delle sezioni misurabili. 28 Teorema di Fubini. 28 Cambiamento di variabili negli integrali multipli. Aprile 4 Superfici regolari in R^3 4 Area di superfici 5 Integrali su superfici 5 Teorema di Stokes e della divergenza (enunciati) 6 Introduzione alle forme differenziali 6 Forme differenziali esatte 13 Forme differenziali chiuse 13 Legami tra forme chiuse e esatte 18 Teorema delle funzioni implicite 18 Il caso vettoriale e applicazioni 19 Il teorema di invertibilita' locale 19 Il teorema dei moltiplicatori di Lagrange Maggio 11 Esercizi 11 Esercizi