OTTOBRE 2 Introduzione al corso. Classificazione dei problemi computazionali 3 Analisi degli errori: errori relativi e assoluti, ordine di un metodo 3 Rappresentazione dei numeri sul calcolatore: il sistema floating point 5 Errore di troncamento e di arrotondamento. La precisione macchina 5 Propagazione degli errori: la cancellazione. Condizionamento di un problema 8 Risoluzione di sistemi lineari triangolari 8 Metodo di eliminazione di Gauss 9 Algoritmo del metodo di eliminazione. La fattorizzazione LU di una matrice 10 Condizioni necessarie e sufficienti per la fattorizzazione LU 10 Stabilita' dell'algoritmo. Tecniche di pivoting 12 Norme di vettori e matrici 12 Condizionamento di una matrice quadrata non sigolare 15 Fattorizzazione LDM'; decomposizioen di Cholesky (Gardini) 15 Matrici con struttura: a banda, sparse (Gardini) 16 Risoluzione di un sistema lineare: dipendenza continua dai dati 17 Analisi della stabilita' dei metodi diretti 17 Matrici rettangolari: sistemi sovradeterminati. Fattorizzazione QR 19 Introduzione ai metodi iterativi per sistemi lineari (Gardini) 19 I metodi di Jacobi e di Gauss-Seidel (Gardini) 22 Metodi di rilassamento: JOR-SOR 22 Analisi di metodi introdotti. Metodi di tipo Richardson 23 Analisi del metodo di Richardson stazionario. 24 Metodo del gradiente (steepest descent) 24 Metodo del gradiente coniugato 26 Metodo del gradiente coniugato precondizionato 26 Precondizionatori. Introduzione ai problemi agli autovalori 29 Laboratorio. Introduzione al laboratorio informatico e a Matlab 29 Laboratorio. Analisi degli errori: precisione macchina, cancellazione 30 Metodo delle potenze 31 Laboratorio. Functions in Matlab (Gardini) 31 Laboratorio. Grafica in Matlab (Gardini) NOVEMBRE 5 Laboratorio. Algebra lineare numerica: matrici triangolari 5 Laboratorio. Algebra lineare numerica: decomposizione LU 6 Metodo delle potenze inverse, shift-invert. Teorema di Gershgorin 7 Metodi di similitudine. Il metodo QR 7 Approssimazione di funzioni e dati. Interpolazione polinomiale di Lagrange 9 Interpolazione di Lagrange-Newton 9 Analisi dell'errore nell'interpolazione polinomiale 12 Laboratorio. Algebra lineare numerica: LU e LU con pivot 12 Laboratorio. Algebra lineare numerica: condizionamento 13 Fenomeno di Runge. Nodi di Chebishev. Interpolazione lineare a tratti 14 Laboratorio. Metodi iterativi per sistemi lineari (Gardini) 14 Laboratorio. Metodo di Jacobi (Gardini) 16 Tecniche di interpolazione polinomiale a tratti: spline (Gardini) 16 Spline del terz'ordine (Gardini) 19 Laboratorio. Metodo di Gauss-Seidel (Gardini) 19 Laboratorio. Metodo di Gauss-Seidel (Gardini) 20 Interpolazione astratta 21 Lezione sospesa per impegno accademico 21 Lezione sospesa per impegno accademico 23 Approssimazione astratta 23 Approssimazione lineare nel senso dei minimi quadrati 26 Laboratorio. Studio del programma delqdemo.m 26 Laboratorio. Jacobi, Gauss-Seidel e PCG per la matrice delle differenze finite 27 Polinomi ortogonali: Legendre e Chebyshev. L'uso dei nodi di Chebyshev nell'approssimazione in norma del massimo. 28 Esercizi sull'approssimazione mediante minimi quadrati 28 Equazioni non lineari e ottimizzazione: algoritmo di bisezione 30 Il metodo di Newton in una dimensione e in piu' dimenisioni 30 Analisi del metodo di Newton: convergenza locale e globale. Radici multiple DICEMBRE 3 Laboratorio. La funzione "polyfit" 3 Laboratorio. Interpolazione polinomiale di Lagrange e di Chebishev 4 Iterazioni di punto fisso 5 Analisi delle iterazioni di punto fisso 5 Il metodo di Newton come iterazioni di punto fisso: radici multiple 7 Radici di polinomi: deflazione, Ruffini-Horner, divisione sintetica 7 Introduzione all'integrazione numerica: formule di Newton-Cotes 10 Laboratorio. Ricerca degli zeri di funzioni (Gardini) 10 Laboratorio. Il metodo di Newton (Gardini) 11 Stima dell'errore nelle formule di Newton-Cotes. Formule composite 12 Formule di Gauss. Metodo di Cavalieri-Simpson adattivo 12 Introduzione all'approssimazione di equazioni differenziali. Il metodo di Eulero esplicito 14 Analisi del metodo di Eulero esplicito 14 Eulero esplicito e propagazione degli errori di arrotondamento. Eulero implicito, teta-metodo, Crank-Nicolson 17 Laboratorio (Gardini) 17 Laboratorio (Gardini) 18 Somministrazione questionari sul corso 19 Analisi di convergenza dei metodi a un passo espliciti (consistenza e 0-stabilita') 19 Metodo di Heun e di Eulero modificato. Introduzione ai metodi Runge-Kutta 21 Metodi di Runge-Kutta. Controllo del passo 21 Assoluta stabilita' GENNAIO 7 Laboratorio (da soli) 7 Laboratorio (da soli) 8 Metodi a piu' passi lineari 8 Metodi di Adams-Bashford e Adams-Moulton 8 Metodi BDF 8 Analisi dei metodi a piu' passi. Condizione delle radici