OTTOBRE 1 Introduzione al corso 1 Classificazione dei problemi computazionali. Errori assoluti e relativi 3 Introduzione all'analisi degli errori. I numeri "floating point" 3 Troncamento e arrotondamento. La precisione di macchina 6 Laboratorio: introduzione all'aula informatica 6 Laboratorio: precisione macchina, errori di arrotondamento 7 Aritmetica floating point. Propagazione degli errori. Cancellazione 8 Problema ben posto secondo Hadamard. Condizionamento. Stabilita' 8 Introduzione alle norme di vettori e matrici 10 Norma spettrale di una matrice. Decomposizione in valori singolari 10 Sistemi triangolari. Metodo di eliminazione di Gauss 13 Laboratorio (Gardini): analisi degli errori 13 Laboratorio (Gardini): matrici triangolari, sostituzioni in avanti e all'indietro 14 Fattorizzazione LU. 15 Il concetto di pivot. Pivoting parziale e totale 15 Esempi, propagazione degli errori. Condizionamento di un sistema lineare 17 Analisi all'indietro per la fattorizzazione LU 17 Fattorizzazione L*D*M', matrici simmetriche, matrici simmetriche e definite positive 20 Laboratorio: fattorizzazione LU 20 Laboratorio: fattorizzazione LU 21 Fattorizzazione di Choleski. Matrici a banda 22 Matrici sparse. Sistemi sovradeterminati 22 Fattorizzazione QR. Gram-Schmidt modificato. Matrici di Householder 27 Laboratorio (Gardini): condizionamento di matrici 27 Laboratorio (Gardini): matrice di Hilbert 28 Algoritmo QR con matrici di Householder. Matrici a blocchi 28 Introduzione ai metodi iterativi per i sistemi lineari. Splitting 28 Jacobi, Gauss-Seidel, JOR, SOR. Matrici di iterazione e raggio spettrale 29 Condizioni sufficienti e necessarie per la convergenza dei metodi presentati 29 Analisi del metodo di Richardson stazionario 31 Metodo del gradiente (steepest descent) 31 Metodo del gradiente coniugato e del gradiente coniugato precondizionato NOVEMBRE 3 Laboratorio (Gardini): metodi iterativi per sistemi lineari 3 Laboratorio (Gardini): metodi di Jacobi e Gauss-Seidel 4 Matrici di precondizionamento. Introduzione ai problemi agli autovalori 5 Il metodo delle potenze. Potenze inverse. Shift-invert 5 Il metodo QR per il calcolo degli autovalori 7 Approssimazione di funzioni e dati. Interpolazione di Lagrange 7 Stima dell'errore nell'interpolazione polinomiale. 10 Laboratorio (Gardini): semplice esempio di algoritmo 10 Laboratorio (Gardini): semplice esempio di algoritmo 11 Differenze divise. Algoritmo di Newton. Esempio di Runge. Nodi di Chebishev 12 Interpolazione astratta. Matrice di Vandermonde 12 Spline lineari. Spline del terz'ordine 14 Discussione su problemi di attualita' universitaria (su richiesta degli studenti) 14 Proprieta' di minimo delle spline del terz'ordine 17 Laboratorio (Gardini): metodi iterativi per sistemi lineari 17 Laboratorio (Gardini): metodi iterativi per sistemi lineari 18 Interpolazione a tratti in due e tre dimensioni. Problema generale dell'approssimazione 19 Approssimazione nel senso dei minimi quadrati (caso continuo e discreto) 19 Polinomi ortogonali. Polinomi di Legendre. Polinomi di Chebishev 21 Approssimazione in norma del massimo 21 Risoluzione di equazioni non lineari: bisezione, regula falsi, metodo di Newton 24 Laboratorio (Gardini): interpolazione polinomiale 24 Laboratorio (Gardini): fenomeno di Runge, spline 25 Analisi del metodo di Newton. Metodi delle corde e delle secanti 26 Iterazioni di punto fisso 26 Il metodo di Newton come iterazione di punto fisso. Radici multiple 28 Considerazioni sull'ordine di un metodo iterativo. Interpolazione inversa 28 Divisione sintetica di polinomi. Introduzione all'integrazione numerica DICEMBRE 1 Integrazione numerica: formule di Newton-Cotes, grado di precisione, stime dell'errore 1 Formule composite. Formule di Gauss 2 Metodo di Cavalieri Simpson adattivo. Introduzione all'approssimazione delle equazioni differenziali 3 Il metodo di Eulero esplicito. Errore locale di discretizzazione 3 Analisi del metodo di Eulero esplicito. Propagazione degli errori 5 Laboratorio (Gardini): il metodo di bisezione 5 Laboratorio (Gardini): il metodo di bisezione 10 Adattivita' del metodo di Eulero esplicito. Metodi di Runge-Kutta (Gardini) 10 Metodi di Runge-Kutta-Fehlberg. Eulero implicito, Crank-Nicolson e theta-metodo (Gardini) 12 Laboratorio (Gardini) 12 Laboratorio (Gardini) 15 Analisi dei metodi a un passo espliciti: consistenza 15 Analisi dei metodi a un passo espliciti: 0-stabilita' 16 Introduzione all'assoluta stabilita' 17 Assoluta stabilita' per il theta-metodo. Tecniche di risoluzione per gli schemi impliciti 17 Somministrazione questionari sulla didattica. Introduzione ai metodi a piu' passi 19 Metodi multistep lineari. Costruzione dei metodi BDF 19 Metodi di Adams-Bashforth e Adams-Moulton. Analisi della consistenza per metodi lineari a piu' passi GENNAIO 7 Laboratorio: ordine di convergenza delle formule di quadratura 7 Laboratorio: ordine di convergenza delle formule di quadratura 9 Equazioni alle differenze lineari 9 0-stabilita' per i metodi multistep. Condizione delle radici. Metodi predictor-corrector 12 Laboratorio: conclusione lavoro su formule di quadratura (Gardini) 12 Laboratorio: conclusione lavoro su formule di quadratura (Gardini) 13 Considerazioni sull'assoluta stabilita' del metodo del punto medio 14 Laboratorio: assoluta stabilita' per il theta-metodo 14 Laboratorio: assoluta stabilita' per il theta-metodo