OTTOBRE 2 Introduzione al corso 2 Classificazione dei problemi computazionali. Errori assoluti e relativi 5 Laboratorio (Gardini): introduzione al labororatorio informatico 5 Laboratorio (Gardini): introduzione a matlab 6 Rappresentazione dei numeri in macchina. Il sistema floating point 7 Analisi degli errori. Troncamento e arrotondamento 7 La precisione macchina. L'aritmetica floating point. 9 Introduzione all'analisi all'indietro e propagazione degli errori. 9 Condizionamento e stabilita'. Introduzione all'algebra lineare numerica 12 Il metodo dell'eliminazione di Gauss. Risuzione di sistemi triangolari 12 La fattorizzazione LU 13 Analisi della fattorizzazione LU 14 Laboratorio (Gardini): primi esempi con matlab 14 Laboratorio (Gardini): l'aritmetica floating point e la precisione macchina 16 Fattorizzazione LU con pivot 16 Fattorizzazioni di matrici, matrici simmetriche 19 Laboratorio (Gardini): propagazione degli errori, la cancellazione 19 Laboratorio (Gardini): risoluzione di sistemi triangolari 20 Fattorizzazione di Choleski. Matrici sparse, a banda e a blocchi 21 Norme di vettori e norme di matrici 21 Norme di matrici. Introduzione al condizionamento di una matrice 23 Condizionamento di un sistema lineare 23 Analisi all'indietro per il metodo di elminiazione di Gauss. Introduzione alla fattorizzazione QR 26 Laboratorio (Gardini): fattorizzazione LU 26 Laboratorio (Gardini): fattorizzazione LU 27 Fattorizzazione QR: metodo di Gram-Schmidt modificato. Matrici di Householder 28 Laboratorio (Gardini): stabilita' della fattorizzazione LU 28 Laboratorio (Gardini): condizionamento di una matrice 30 Fattorizzzione QR con le matrici di Householder 30 Introduzione ai metodi iterativi. Metodo di Jacobi e Gauss-Seidel NOVEMBRE 3 Matrice di iterazione. Convergenza di Jacobi. Metodi JOR e SOR 4 Convergenza del metodo SOR. Test di arresto 4 Metodo di Richardson. Analisi del metodo di Richardson stazionario 6 Metodi di tipo gradiente. Steepest descent 6 Direzioni coniugate e ottimalita'. Metodo del gradiente coniugato 9 Laboratorio (Gardini): matrici di Hilbert, condizionamento e fattorizzazione LU 9 Laboratorio (Gardini): metodo di Jacobi 10 Metodo del gradiente coniugato 11 Convergenza del metodo del gradiente coniugato. Gradiente coniugato precondizionato 11 Matrici di precondizionamento. Autovalori e autovettori: condizionamento. Quoziente di Rayleigh 13 Metodo delle potenze. Deflazione 13 Metodo QR per il calcolo degli autovalori. Introduzione all'approssimazione di funzioni e di dati 16 Laboratorio (Gardini): metodo di Jacobi e Gauss-Seidel 16 Laboratorio (Gardini): metodo di Jacobi e Gauss-Seidel 17 Interpolazione polinomiale di Lagrange 18 Stima dell'errore di interpolazione. Il metodo di Newton per la costruzione del polinomio di Lagrange 18 Fenomeno di Runge, nodi di Chebyshev. Introduzione all'interpolazione astratta 20 Interpolazione astratta. Determinante di Haar e di Vandermonde. Unisolvenza 20 Introduzione alle spline. Interpolazione lineare a tratti. Introduzione alle spline del terz'ordine 23 Laboratorio (Gardini): velocita' di convergenza e test d'arresto per Jacobi e Gauss-Seidel 23 Laboratorio (Gardini): velocita' di convergenza e test d'arresto per Jacobi e Gauss-Seidel 24 Construzione delle spline del terz'ordine (naturali e forzate) 25 Proprieta' dell'energia delle spline del terz'ordine 25 Introduzione all'approssimazione astratta. Migliore approssimazione in spazi di Hilbert 27 Polinomi ortogonali, approssimazione nel senso dei minimi quadrati. 28 Polinomi di Chebyshev e migliore approssimazione. Interpolazione in piu' dimensioni 30 Laboratorio (Gardini): metodo del gradiente precondizionato 30 Laboratorio (Gardini): confronti tra i vari metodi iterativi DICEMBRE 1 Introduzione alla risolutione di equazioni non lineari e all'ottimizzazione. Metodo di bisezione e metodo regula falsi 2 Metodo di Newton, delle corde e delle secanti. Analisi del metodo di Newton 2 Ordine di un metodo. Introduzione ai metodi di punto fisso 4 Iterazioni di punto fisso. Ordine del metodo 4 Il metodo di Newton come metodo di punto fisso. Radici multiple 11 (Gardini) Introduzione all'integrazione numerica. Formule di Newton-Cotes (punto medio, trapezio, Cavalieri-Simpson) 11 (Gardini) Grado di precisione di una formula di quadratura. Analisi dell'errore. Formule composte 14 Laboratorio (Gardini): interpolazione di Lagrange, di Chebyshev, lineare a tratti e con spline cubiche 14 Laboratorio (Gardini): esempio di Runge 15 Stima dell'errore per le formule di quadratura composite. Formule di Gauss 16 Formule di Gauss e polinomi ortogonali. Stime a posteriori e metodi adattativi: schema di Cavalieri-Simpson adattativo 16 Introduzione all'approssimazione di equazioni differenziali. Il metodo di Eulero esplicito 18 Laboratorio (Gardini): metodo di bisezione 18 Laboratorio (Gardini): metodo di bisezione 21 Definizione di convergenza. Errore di troncamento locale. Ordine di consistenza di un metodo 21 Analisi della convergenza del metodo di Eulero esplicito. Analisi del problema perturbato GENNAIO 8 (Gardini) Adattivita' per Eulero esplicito. Metodi di sviluppo in serie 8 (Gardini) Metodi di Runge-Kutta. Metodi di Eulero implicito, Crank-Nicolson e theta metodo 11 Laboratorio (Gardini): metodo di Newton 11 Laboratorio (Gardini): metodo di Newton 12 0-stabilita' e consistenza per i metodi a un passo. Introduzione all'assoluta stabilita' 13 Assoluta stabilita' per Eulero esplicito, Eulero implicito e theta metodo 13 Metodi multistep. Metodi BDF, Adams. Consistenza e 0-stabilita', condizione delle radici 15 Laboratorio (Gardini): formule di quadratura 15 Laboratorio (Gardini): formule di quadratura