MARZO 9 Introduzione al corso. Classificazione dei problemi computazionali 9 Errori assoluti e relativi. Analisi degli errori. Numeri floating point 10 Rappresentazione dei numeri macchina. Troncamento, arrotondamento 14 Precisione macchina. Cancellazione 14 Introduzione all'analisi all'indietro e propagazione degli errori 15 Troncamento e arrotondamento. La precisione macchina. L'aritmetica floating point 15 Introduzione all'analisi all'indietro. Cancellazione. Algebra lineare numerica: introduzione 16 Risoluzione di matrici triangolari. Complessita' computazionale 16 Eliminazione di Gauss e fattorizzazione LU. Il concetto di pivoting 21 Varie fattorizzazioni LDM^T, LDL^T 21 Fattorizzazione di Choleski. Matrici a banda, matrici sparse 22 Laboratorio: introduzione al laboratorio 22 Laboratorio: precisione macchina, (1-x)^6 e cancellazione 23 Fattorizzazioni a blocchi. Norme di vettori e di matrici 23 Condizionamento di un sistema lineare. Numero di condizionamento 24 Stabilita' del metodo di eliminazione di Gauss: analisi all'indietro. Introduzione ai sistemi sovradeterminati 28 La fattorizzazione QR. Metodo di Gram-Schmidt modificato 28 Matrici di Householder. Introduzione ai metodi iterativi per la risoluzione dei sistemi lineari 29 Laboratorio: sostituzioni in avanti e all'indietro 29 Laboratorio: sostituzioni in avanti e all'indietro. Fattorizzazione LU senza pivot 30 Metodi di splitting: matrice di iterazione e studio della convergenza 30 Metodoi di Jacobi, Gauss-Seidel. Rilassamento: JOR, SOR. Studio della convergenza 31 Criteri di arresto per metodi iterativi. Introduzione al metodo di Richardson APRILE 4 Analisi del metodo di Richardson stazionario 4 Metodi di tipo gradiente 5 Laboratorio: fattorizzazione LU senza pivot 5 Laboratorio: stabilita' per la fattorizzazione LU senza pivot 6 Il metodo del gradiente (steepest descent) 6 Analisi del metodo del gradiente e direzioni coniugate. Metodo del gradiente coniugato 7 Metodo del gradiente coniugato precondizionato. Precondizionatori (diagonali, fattorizzazioni incomplete, Neumann) 11 Approssimazione di autovalori e autovettori. Condizionamento e localizzazione degli autovalori 11 Metodo delle potenze. Potenze inverse e shift-invert 12 Laboratorio: stabilita' per la risoluzione dei sistemi lineari (LU, LU con pivot, backslash di matlab) 12 Laboratorio: condizionamento di matrice 14 Autovalori: trasformazioni per similitudine. Il metodo QR per la ricerca degli autovalori 18 Approssimazione di funzioni e di dati. Interpolazione polinomiale di Lagrange 18 Formula dell'errore per l'interpolazione di Lagrange. Costante di Lebesgue e suo utilizzo per la stima dell'errore 19 Laboratorio: condizionamento della matrice di Hilbert 19 Laboratorio: metodi di Jacobi e Gauss-Seidel 20 Nodi di Chebychev. Formula di Newton per la rappresentazione del polinomio di interpolazione 20 Differenze divise di Newton. Analisi di stabilita' dell'operazione di interpolazione. Introduzione al problema generale dell'interpolazione lineare 27 Problema generale dell'interpolazione lineare. Matrice di Haar. Matrice di Vandermonde 27 Esercizi su interpolazione polinomiale in piu' dimensioni. Introduzione alle spline 28 Spline interpolanti lineari. Spline cubiche: unisolvenza e costruzione MAGGIO 2 Proprieta' dell'energia per le spline cubiche. Proprieta' di approssimazione. 2 Problema generale dell'approssimazione. Introduzione ai minimi quadrati lineari 3 Minimi quadrati lineari. Esempio nel caso della norma discreta 3 Polinomi ortogonali di Legendre e di Chebychev. Polinomio di migliore approssimazione 4 Laboratorio: gradiente coniugato e gradiente coniugato precondizionato (Gardini) 4 Laboratorio: gradiente coniugato e gradiente coniugato precondizionato (Gardini) 5 Equazioni non lineari. Il metodo di bisezione 9 Metodi Regula Falsi e Illinois. Introduzione al metodo di Newton 9 Analisi del metodo di Newton. Metodo di Newton per sistemi. Introduzione al metodo di punto fisso 10 Laboratorio: interpolazione di Lagrange, analisi dell'errore (norma del massimo) 10 Laboratorio: fenomendo di Runge 11 Metodo di punto fisso. Analisi di esistenza, unicita' e convergenza globale 11 Convergenza locale. Analisi della propagazione degli errori. Il metodo di Newton come metodo di punto fisso 12 Punto fisso e metodo di Newton. Radici multiple. Metodo di deflazione per la ricerca delle radici di polinomi 16 Integrazione numerica. Punto medio semplice 16 Punto medio composito. Le formule di Newton-Cotes: trapezi e Cavalieri-Simpson 17 Laboratorio: fenomeno di Runge, nodi di Chebychev 17 Laboratorio: interpolazione polinomiale a tratti 18 Analisi dell'errore per le formule di Newton-Cotes: trapezi e Cavalieri-Simpson 18 Formule di Newton-Cotes composite. Formule chiuse e formule aperte 19 Introduzione alla formule di Gauss. Teorema di Jacobi 23 Formule di Gauss (Legendre, Chebyshev, Lobatto) 23 Formula adattiva di Cavalieri-Simpson. Introduzione all'approssimazione delle equazioni differenziali 24 Laboratorio: formule di quadratura (Gardini) 24 Laboratorio: formule di quadratura (Gardini) 25 Il metodo di Eulero esplicito. Introduzione 25 Il metodo di Eulero esplicito. Analisi dell'errore (consistenza e 0-stabilita'). Adattivita' 26 Lezione sospesa per impegni istituzionali 30 Il metodo di Eulero esplicito: propagazione degli errori 30 Metodi a un passo (sviluppo in serie). I metodi Runge-Kutta 31 Laboratorio: ordine delle formule di quadratura 31 Laboratorio: ordine delle formule di quadratura legato alla regolarita' delle funzioni GIUGNO 1 Metodo di Eulero implicito, theta-metodo, metodo di Crank-Nicolson 1 Assoluta stabilita' 6 Errore di troncamento del theta-metodo. Introduzione ai metodi multistep lineari. Formule di differenziazione all'indietro 6 Formule BDF. Metodi di tipo Adams (Adams-Bashforth e Adams-Moulton). Cenni sui metodi predictor-corrector 7 Laboratorio: metodo di Eulero esplicito 7 Laboratorio: metodo di Eulero esplicito e problemi stiff 8 Consistenza per i metodi multistep lineari 8 0-stabilita' per i metodi multistep lineari. Condizione delle radici