MARZO 5 Introduzione al corso. Classificazione dei problemi computazionali 5 Errori assoluti e relativi. Introduzione all'analisi degli errori 6 Rappresentazione dei numeri in macchina. Numeri floating point 6 Il fenomeno della cancellazione 7 Introduzione all'analisi all'indetro. Propagazione degli errori nelle operazioni algebriche 7 Norme di vettori e norme di matrici 8 Calcolo di norme di matrici (1, 2, infinito) e interpretazione geometrica 12 Laboratorio 12 Laboratorio 13 Introduzione all'algebra lineare numerica. Sostituzioni in avanti e all'indietro 13 Medodi diretti. Introduzione alla fattorizzazione LU 14 Eliminazione di Gauss e fattorizzazione LU. Condizione dei minori principali 14 Fattorizzazione LU con pivot. Stabilita' dell'algoritmo e pivoting 15 Esercitazioni 19 Laboratorio 19 Laboratorio 20 Condizionamento dei sistemi lineari. Numero di condizionamento di una matrice 20 Analisi di stabilita' del metodo di eliminazione di Gauss. Cenni sulle matrici a banda 21 Fattorizzazione di Choleski. Sistemi sovradeterminati, metodo dei minimi quadrati 21 Fattorizzazione QR. Metodo di Gram-Schmidt modificato. Introduzione alle matrici di Householder 22 Esercitazioni 26 Laboratorio 26 Laboratorio 27 Le matrici di Householder per la fattorizzazione QR. Introduzione ai metodi iterativi per la risoluzione dei sistemi lineari 27 Metodi di tipo splitting: Jacobi e Gauss-Seidel. Matrice di iterazione e convergenza dei metodi iterativi 28 Matrici a predominanza diagonale. Criteri di arresto: basati sulla differenza tra le iterate e basati sul residuo 28 Matrici simmetriche e definite posive: minimizzazione del funzionale quadratico associato. Rilassamento e metodo SOR 29 Esercitazioni APRILE 2 Laboratorio 2 Laboratorio 3 Metodo di Richardson. Analisi del metodo di Richardson stazionario 3 Metodo del gradiente (steepest descent). Scelta ottimale del parametro di accelerazione per un metodo di discesa. Proprieta' di ortogonalita' del residuo 4 Direzioni coniugate. Il metodo del gradiente coniugato. Proprieta' di terminazione finita per il metodo del gradiente coniugato 4 Il metodo del gradiente coniugato precondizionato. Cenni sui precondizionatori (diagonali, LU incompleto, Neumann) 16 Approssimazione numerica di problemi agli autovalori. Localizzazione degli autovalori 16 Il metodo delle potenze. Potenze inverse e shift-invert. Panoramica sui metodi di similitudine 17 Laboratorio 17 Laboratorio 18 Generalita' sul metodo QR per il calcolo di autovalori. Approssimazione di funzioni e dati. Interpolazione polinomiale 18 Interpolazione di Lagrange. Formula dell'errore. Introduzione alle differenze divise di Newton 19 Esercitazioni 23 Laboratorio 23 Laboratorio 24 Differenze divise di Newton. Fenomeno di Runge e nodi di Chebichev. Il problema generale dell'interpolazione astratta 24 Determinante di Haar e Vandermonde. Gradi di liberta' e unisolvenza. Approssimazione lineare a tratti. Introduzione alle spline 26 Esercitazioni MAGGIO 3 Costruzione delle spline del terz'ordine 3 Proprieta' dell'energia delle spline del terz'ordine. Stima dell'errore. Introduzione al problema generale dell'approssimazione. 3 Esercitazioni 7 Laboratorio 7 Laboratorio 8 Approssimazione in norma hilbertiana: minimi quadrati lineari. 8 Introduzione ai polinomi ortogonali: polinomi di Legendre e di Chebishev. Introduzione all'approssimazione nella norma del massimo 9 Costante di Lebesgue. Stabilita' dell'interpolazione polinomiale 9 Introduzione alla risoluzione di sistemi non linerari. Il metodo di bisezione. Introduzione al metodo di Newton 10 Esercitazioni 14 Il metodo di Newton: convergenza locale. Ordine di convergenza di un metodo iterativo. Esempio relativo alla ricerca di radici multiple 14 Iterazioni di punto fisso. Teorema di convergenza globale. Ordine di convergenza 15 Laboratorio 15 Laboratorio 16 Ordine di convergenza del metodo di Newton visto come iterazioni di punto fisso. Il caso delle radici multiple 16 Iterazioni di punto fisso: propagazione degli errori. Criteri di arresto. Metodo di Newton per sistemi. Cenni sulle varianti del metodo di Newton (corde, secanti) 17 Esercitazioni 21 Laboratorio 21 Laboratorio 22 Introduzione all'integrazione numerica. Metodo del punto medio semplice e composito. Grado di precisione. Calcolo dell'errore 22 Formule di Newton-Cotes. Formula dei trapezi e formula di Cavalieri-Simpson. Calcolo dell'errore. Formule chiuse e formule aperte 23 Formule di Gauss. Costruzione della formula di Gauss-Legendre a due nodi. Costruzione generale delle formule di Gauss 23 Dimostrazione del grado di precisione delle formule di Gauss. Teorema di Jacobi. Stime a posteriori e adattivita'. Formula di Cavalieri-Simpson adattativa 24 Esercitazioni 28 Laboratorio 28 Laboratorio 29 Introduzione all'approssimazione di equazioni differenziali. Il metodo di Eulero (esplicito) 29 Definizione di convergenza. Definizione (in termini generali e intuitivi) del concetto di consistenza e 0-stabilita'. Dimostrazione della convergenza 30 Stima dell'errore di consistenza. Stima a posteriori e metodo adattativo per il cambiamento di passo 30 Condizionamento di un problema di Cauchy. Propagazione degli errori di arrotondamento. Introduzione al concetto di stabilita' asintotica 31 Esercitazioni GIUGNO 4 Laboratorio 4 Laboratorio 5 Assoluta stabilita'. Eulero implicito, theta-metodo, Crank-Nicolson 5 Esercitazioni 6 Laboratorio 6 Laboratorio 7 Esercitazioni