MARZO 4 Introduzione al corso. Varie fonti di errore nel calcolo scientifico 4 Buona posizione e condizionamento di un problema 5 Numero di condizionamento assoluto e relativo. Analisi di un problema approssimato: consistenza, consistenza forte 5 Analisi di un problema approssimato: stabilita', condizionamento, convergenza. Analisi a priori e a posteriori 6 Rappresentazione dei numeri nel calcolatore. Sistema posizionale, rappresentazione fixed point 6 Rappresentazione dei numeri floating point. Aritmetica IEEE, arrotondamenti. Operazioni floating point, introduzione al fenomeno della cancellazione 7 Esercitazione (Gardini) 11 Laboratorio (Gardini) 11 Laboratorio (Gardini) 12 Analisi all'indietro sul fenomeno di cancellazione. Richiami su matrici. Decomposizione ai valori singolari. Norme di vettori 12 Norme di matrici. Esempi di norme naturali associate alla norma di vettore 13 Il raggio spettrale. La norma spettrale. Serie geometrica con ragione matriciale 13 Introduzione all'algebra lineare numerica. Il numero di condizionamento di una matrice. Analisi a priori della risoluzione di un sistema lineare 15 Esercitazione (Gardini) 18 Risoluzione di sistemi triangolari. Le sostituzioni in avanti e all'indietro 18 Sostituzione per righe e per colonne. Sistemi triangolari ed errori di arrotondamento 19 Il metodo di eliminazione di Gauss 19 Il metodo di eliminazione di Gauss come fattorizzazione LU 20 Laboratorio (Gardini) 20 Laboratorio (Gardini) 21 Esercitazione (Gardini) 25 Laboratorio (Gardini) 25 Laboratorio (Gardini) 26 Esercitazione (Gardini) 26 Esercitazione (Gardini) 27 Laboratorio (Gardini) 27 Laboratorio (Gardini) APRILE 3 Analisi di stabilita' della fattorizzazione LU. Altri tipi di fattorizzazione 3 Fattorizzazione di Choleski. Introduzione alla fattorizzazione QR e ai problemi sovradeterminati 4 Esercitazione (Gardini) 8 Fattorizzazione QR e fattorizzazione ridotta. Metodo di Gram-Schmidt modificato 8 Matrici di Householder. Metodo di Houseolder per ottenere la fattorizzazione QR. LU: pivoting parziale 9 LU: pivoting totale. Matrici sparse, matrici a banda, matrici a blocchi. 9 Introduzione ai metodi iterativi per la risoluzione di sistemi lineari. Metodi lineari stazionari, consistenza e convergenza. Introduzione ai metodi di tipo splitting 10 Laboratorio (Gardini) 10 Laboratorio (Gardini) 11 Esercitazione (Gardini) 15 Metodi di Jacobi (JOR) e Gauss-Seidel (SOR) 15 Convergenza dei metodi di Jacobi e Gauss-Seidel 16 Metodi iterativi stazionari e non stazionari. Metodo di Richardson (rilassamento) 16 Analisi del metodo di Richardson. Matrici di precondizionamento 17 Laboratorio (Gardini) 17 Laboratorio (Gardini) 18 Esercitazione (Gardini) 22 Laboratorio (Gardini) 22 Laboratorio (Gardini) 23 Precondizionatori polinomiali. Introduzione ai metodi di tipo gradiente 23 Metodo del gradiente (steepest descent). Introduzione al metodo del gradiente coniugato 24 Analisi del metodo del gradiente coniugato. Metodo del gradiente coniugato precondizionato 24 Criteri di arresto per metodi iterativi. Introduzione alla risoluzione di problemi agli autovalori 29 Laboratorio (Gardini) 29 Laboratorio (Gardini) 30 Localizzazione di autovalori. Primo teorema di Gershgorin. 30 Condizionamento del problemi agli autovalori. Metodo delle potenze, potenze inverse, shift-invert MAGGIO 2 Metodo QR per il calcolo di autovalori. Introduzione alla soluzione di equazioni non lineari. Ordine di un metodo 2 Condizionamento della ricerca di radici di funzioni. Radici multiple. Il metodo di bisezione. Introduzione ai metodi di tipo Newton 6 Esercitazione (Gardini) 6 Esercitazione (Gardini) 7 Metodi di tipo Newton: corde, secanti, regula falsi. Metodo di Newton. Introduzione ai metodi di punto fisso 7 Metodi di punto fisso. Iterazioni di punto fisso 8 Il metodo di Newton come metodo di punto fisso. Radici multiple e modifica del metodo di Newton. Convergenza locale e convergenza di ordine superiore al primo per metodi di punto fisso 8 Influenza degli errori di arrotondamento per iterazioni di punto fisso. Criteri di arresto (residuo e incremento) 9 Metodo di Newton per sistemi. Radici di polinomi: rappresentazione di Horner, divisione sintetica, deflazione, metodo di Horner-Newton 13 Approssimazione di funzioni e di dati. Interpolazione polinomiale: basi di Lagrange. Analisi dell'errore nell'interpolazione di Lagrange 13 Esempio di Runge. Miglior approssimazione: costante di Lebesgue. Nodi di Chebyshev 14 Laboratorio (Gardini) 14 Laboratorio (Gardini) 15 Differenze divise di Newton per la costruzione del polinomio di interpolazione 15 Proprieta' e calcolo delle differenze divise 16 Esercitazione (Gardini) 20 Esercitazione (Gardini) 20 Esercitazione (Gardini) 21 Interpolazione polinomiale composita. Introduzione alle spline 21 Spline del terz'ordine: costruzione 22 Spline del terz'ordine: proprieta' di minimo dell'energia 22 Approssimazione del senso dei minimi quadrati. Esistenza, unicita' e sistema delle equazioni normali 23 Esercitazione (Gardini) 27 Minimi quadrati nel discreto (equazioni normali). Breve cenno sui polinomi ortogonali. Introduzione all'integrazione numerica. Formule di Newton-Cotes 27 Esempi: formula del punto medio, dei trapezi, di Cavalieri-Simpson. Formule semplici e formule composite, grado di precisione, formule per l'errore 28 Integrazione automatica: metodo di Cavalieri-Simpson adattivo. Formule di Gauss 28 Formula di Gauss a due punti. Calcolo di polinomi di Legendre. Teorema di Jacobi 29 Laboratorio (Gardini) 29 Laboratorio (Gardini) 30 Esercitazione (Gardini) 30 Esercitazione (Gardini) 30 Esercitazione (Gardini) 30 Esercitazione (Gardini)