MARZO 5 Introduzione al corso. Varie fonti di errore nel calcolo scientifico 5 Buona posizione di un problema. Problemi diretti, inversi, di identificazione. Stabilita'. Numero di condizionamento assoluto e relativo 6 Problema approssimato: consistenza, consistenza forte, stabilita', condizionamento, convergenza. Analisi a priori e a posteriori 10 Rappresentazione dei numeri nel calcolatore. Sistema posizionale, rappresentazione fixed point. Rappresentazione dei numeri floating point 10 Aritmetica IEEE, arrotondamenti. Operazioni floating point, introduzione al fenomeno della cancellazione 11 Richiami su vettori e matrici. Decomposizione ai valori singolari. Norme di vettori e norme di matrici 11 Norma di matrice indotta dalla norma di un vettore. Raggio spettrale. Norma spettrale. Esempi, norme Hoelderiane e norma infinito 12 Alcune considerazioni su norme e raggio spettrale. Serie geometrica con ragione matriciale 12 Introduzione all'algebra lineare numerica. Analisi a priori della risoluzione di un sistema lineare. Il numero di condizionamento. Sistemi triangolari: sostituzioni in avanti e all'indietro 13 Gardini: esercitazioni 17 Sistemi triangolari: aspetti algoritmici, complessita' e cenni sulla propagazione degli errori 17 Metodo di eliminazione di Gauss. Presentazione dell'algoritmo e complessita' 18 Il metodo di elminazione di Gauss come fattorizzazione LU. Esempio sull'analisi di stabilita' dell'algoritmo 18 Analisi di stabilita' della fattorizzazione LU. Teorema sulla condizione necessaria e sufficiente per l'esistenza della fattorizzazione LU. Il pivoting 19 Altri tipi di fattorizzazioni. La fattorizzazione di Choleski. Introduzione ai sistemi sovradeterminati. Soluzione nel senso dei minimi quadrati 19 La fattorizzazione QR per la risoluzione del problema dei minimi quadrati. Costruzione della fattorizzazione ridotta con il metodo di Gram-Schmidt e il metodo di Gram-Schmidt modificato. Matrici di Householder e loro utilizzo per la costruzione della fattorizzazione QR 20 Gardini: esercitazioni 24 Gardini: laboratorio 24 Gardini: laboratorio 25 Fattorizzazione QR con matrici di Householder. Matrici a banda. Matrici a blocchi 25 Matrici sparse. Introduzione ai metodi iterativi per la risoluzione di sistemi lineari. Consistenza e convergenza per i metodi stazionari del primo ordine 26 Metodi di tipo splitting. Introduzione al metodo di Jabobi e JOR. 26 Introduzione al metodo di Gauss-Seidel, SOR e cenni a SSOR. Alcuni risultati di convergenza per metodi di splitting, JOR e SOR. 27 Gardini: esercitazioni 31 Convergenza di SOR. Metodo del rilassamento di Richardson. Analisi del metodo di Richardson 31 Parametro di accelerazione ottimale per Richardson. Precondizionatori APRILE 1 Introduzione ai metodi di tipo gradiente. Metodo del gradiente (steepest descent) 1 Metodo del gradiente precondizionato. Introduzione al metodo del gradiente coniugato 2 Costruzione del metodo del gradiente coniugato. Terminazione finita e stima dell'errore 2 Metodo del gradiente coniugato precondizionato. Analisi dei test di arresto: basati sulla differenza tra iterate e basati sul residuo. Introduzione all'approssimazione di autovalori 3 Gardini: esercitazioni 7 Gardini: laboratorio 7 Gardini: laboratorio 8 Localizzazione di autovalori. Condizionamento del calcolo di autovalori. Introduzione al metodo delle potenze 8 Potenze, potenze inverse, shift invert 9 Il metodo QR per il calcolo di autovalori. Risoluzioni di equazioni non lineari: condizionamento. Ordine di un metodo 9 Metodo di bisezione. Pro e contro. Introduzione ai metodi di tipo Newton 10 Gardini: esercitazioni 14 Gardini: laboratorio 14 Gardini: laboratorio 15 Gardini: laboratorio 15 Gardini: laboratorio 16 Metodi di tipo Newton: corde, secanti, regula falsi. Metodo di Newton 16 Iterazioni di punto fisso. Il metodo di Newton come metodo di punto fisso. Primi risultati sui metodi di punto fisso: studio grafico 23 Iterazioni di punto fisso: convergenza globale, convergenza locale. Ordine di convergenza 23 Ordine del metodo di Newton (zeri semplici e zeri multipli). Propagazione degli errori nel metodo di punto fisso 24 Gardini: esercitazioni 28 Test di arresto per metodi di ricerca degli zeri e per metodi di punto fisso: basati sul residuo o sul confronto tra due iterate successive. Ricerca di radici di polinomi: metodo di Horner e divisione sintetica. 28 Metodo di Newton per sistemi: stima dell'ordine. Introduzione all'approssimazione di funzioni e di dati. Interpolazione di Lagrange: esistenza e unicita' 29 Gardini: laboratorio 29 Gardini: laboratorio 30 Gardini: esercitazioni 30 Gardini: esercitazioni MAGGIO 5 Gardini: laboratorio 5 Gardini: laboratorio 8 Gardini: esercitazioni 12 Gardini: laboratorio 12 Gardini: laboratorio 13 Gardini: laboratorio 13 Gardini: laboratorio 14 Gardini: esercitazioni 14 Gardini: esercitazioni 15 Gardini: esercitazioni 19 Interpolazione di Lagrange: stima dell'errore. Costante di Lebesgue. Fenomeno di Runge 19 Dipendenza continua dai dati. Introduzione alle differenze divise di Newton 20 Differenze divise di Newton. Interpolazione lineare a tratti 20 Interpolazione polinomiale composita. Interpolazione in piu' dimensioni 21 Introduzione alle spline. Spline del terz'ordine. 21 Costruzione delle spline del terz'ordine 22 Proprieta' dell'energia delle spline del terz'ordine. Introduzione all'approssimazione nel senso dei minimi quadrati 26 Approssimazione nel senso dei minimi quadrati (nel continuo) 26 Polinomi ortogonali. Approssimazione nel senso dei minimi quadrati (nel discreto) 26 Integrazione numerica. Formule di Newton-Cotes. Introduzione alla formula del punto medio 26 Gardini: esercitazioni 27 Formule del punto medio, dei trapezi, di Cavalieri-Simpson (semplici e composite) 27 Adattivita' per la formula di Cavalieri-Simpson. Formule di Gauss. Teorema di Jacobi 28 Gardini: laboratorio 28 Gardini: laboratorio 29 Gardini: laboratorio 29 Gardini: laboratorio 29 Gardini: esercitazioni 30 Gardini: esercitazioni 30 Gardini: esercitazioni GIUGNO 3 Gardini: esercitazioni 3 Gardini: esercitazioni