MARZO 1 Introduzione al corso. Varie fonti di errore nel calcolo scientifico 1 Buona positura di un problema. Problemi diretti, inversi, di identificazione. Stabilita' e numero di condizionamento 2 Laboratorio (Gardini) 2 Laboratorio (Gardini) 3 Problema approssimato: consistenza, consistenza forte, stabilita', condizionamento, convergenza 7 Laboratorio (Gardini) 7 Laboratorio (Gardini) 8 Rapporti tra convergenza, consistenza, stabilita'. Rappresentazione dei numeri sul calcolatore. Sistema posizionale, rappresentazione fixed point 8 Rappresentazione dei numeri floating point. Aritmetica IEEE. Precisione semplice e doppia. Troncamenti e arrotondamenti 9 Operazioni floating point. Propagazione degli errori (somma). Introduzione al fenomeno della cancellazione 9 Richiami su vettori e matrici. Decomposizione in valori singolari. Prodotto scalare. Norme di vettori, matrici. Norma di matrice indotta dalla norma di vettore. Raggio spettrale. Norma spettrale 10 Esercitazione (Gardini) 14 Esempi di norme di matrice. Serie geometrica con ragione matriciale 14 Introduzione all'algebra lineare numerica. Numero di condizionamento. Analisi a priori della risoluzione di un sistema lineare 15 Alcune proprieta' del numero di condizionamento. Metodi diretti e metodi iterativi per la risoluzione di sistemi lineari. Risoluzione di sistemi triangolari: il metodo delle sostituzioni (in avanti e all'indietro). 15 Algoritmo per colonne. Il metodo di elminiazione di Gauss: esempi 16 Il metodo di elminiazione di Gauss: algoritmo. Il metodo di elminazione di Gauss come fattorizzazione LU 16 Esempio su stabilita' dell'algoritmo. Stabilita' dell'algoritmo di elminazione di Gauss e della fattorizzazione LU. Metodi di Crout e Doolittle. Fattorizzazione LDMt. Fattorizzazione di Cholesky 17 Esercitazione (Gardini) 21 Laboratorio (Gardini) 21 Laboratorio (Gardini) 22 Esercitazione (Gardini) 22 Esercitazione (Gardini) 23 Laboratorio (Gardini) 23 Laboratorio (Gardini) 30 Laboratorio (Gardini) 30 Laboratorio (Gardini) 31 Esercitazione (Gardini) APRILE 4 Laboratorio (Gardini) 4 Laboratorio (Gardini) 5 Stabilita' della fattorizzaizone di Choleski. Introduzione alla fattorizzazione QR. Sistemi sovradeterminati (minimi quadrati) 5 Fattorizzazione QR: Gram-Schmidt modificato. Matrici di Householder 6 Fattorizzazione QR: metodo di Householder. Pivoting parziale e totale. Matrici con struttura (banda, blocchi, sparse) 6 Metodi iterativi per sistemi lineari. Metodi lineari consistenti: raggio spettrale della matrice di iterazione. Metodi di splitting 7 Esercitazione (Gardini) 11 Metodi di Jacobi e Gauss-Seidel 11 Metodi JOR e SOR. Analisi dei metodi di splitting 12 Metodi di Richardson stazionario: analisi della convergenza e del raggio spettrale della matrice di iterazione 12 Matrici di precondizionamento 13 Metodo del gradiente (steepest descent) 13 Criteri di arresto per metodi iterativi. Introduzione al metodo del gradiente coniugato 14 Esercitazione (Gardini) 18 Laboratorio (Gardini) 18 Laboratorio (Gardini) 19 Il metodo del gradiente coniugato 19 Algoritmo del metodo del gradiente coniugato. Il metodo del gradiente coniugato precodizionato. Introduzione alla soluzione di sistemi non lineari (ordine di un metodo) 20 Condizionamento del problema della ricerca degli zeri. Zeri semplici e multipli. Il metodo di bisezione 20 I metodi di tipo Newton. Il metodo di Newton 21 Esercitazione (Gardini) 21 Esercitazione (Gardini) 26 Laboratorio (Gardini) 26 Laboratorio (Gardini) 27 Analisi del metodo di Newton. Punti fissi: contrazioni in spazi metrici. Esistenza e unicita'. Analisi a priori e a posteriori 27 Punti fissi di funzioni di una variabile. Ordine di convergenza. Il metodo di Newton come iterazioni di punto fisso. Esempi grafici MAGGIO 3 Punto fisso: analisi della propagazione degli errori. Il metodo di Newton nel caso di radici multiple 3 Metodo di Newton per sistemi. Test di arresto (residuo e differenza tra due iterate successive) 4 Polinomi: rappresentazione di Horner e divisione sintetica. Localizzazione di autovalori 4 Condizionamento di un problema agli autovalori. Il metodo delle potenze (potenze inverse e shift-invert) 9 Metodo delle potenze in presenza di piu' autovalori di modulo massimo. Metodi di similitudine. Il metodo QR 9 Approssimazione di funzioni e di dati. Interpolazione polinomiale di Lagrange. Il fenomeno di Runge 10 Dipendenza continua dai dati. La costante di Lebesgue. Polinomio di miglior approssimazione 10 Nodi di Chebychev. Differenze divise di Newton 11 Differenze divise di Newton (conti conclusivi). Interpolazione polinomiale a tratti. Polinomi lineari a tratti 11 Cenni sull'interpolazione astratta, unisolvenza. Errore nell'interpolazione polinomiale a tratti 12 Introduzione alle spline. Spline del terz'ordine (naturali e vincolate). Costruzione delle spline del terz'ordine 16 Laboratorio (Gardini) 16 Laboratorio (Gardini) 17 Proprieta' dell'energia per le spline del terz'ordine 17 Interpolazione in piu' dimensioni: prodotti tensore 18 Interpolazione in piu' dimensioni: simplessi 18 Approssimazione nel senso dei minimi quadrati. Sistema delle equazioni normali. Introduzione ai polinomi ortogonali