Programma (a.a. 2016/17)

Ripasso di probabilità: la definizione di probabilità, alcune regole di calcolo. Eventi equiprobabili, la probabilità uniforme. La probabilità condizionale; formula di Bayes e formula delle probabilità totali. Indipendenza.

Variabili aleatorie discrete. La densità di probabilità e la legge (o distribuzione). Ripasso delle v.a. di Bernoulli, binomiale e di Poisson. Speranza matematica e varianza; definizione e proprietà. Covarianza. La v.a. geometrica: definizione, esempi, mancanza di memoria. La v.a. ipergeometrica: definizione, esempi e confronto con v.a. binomiale. La v.a. binomiale negativa. La v.a. multinomiale. V.a. vettoriali; la densità congiunta e le densità marginali. La densità di probabilità  di X+Y nel caso generale e nel caso in cui X e Y sono indipendenti. Applicazione per la somma di v.a. indipendenti Poissoniane o binomiali di ugual parametro p. Trasformazione di v.a. vettoriali: Y=AX+b; determinazione della speranza matematica e della matrice di covarianza di Y.

Variabili aleatorie continue. La densità di probabilità, la legge, la funzione di ripartizione, speranza matematica e varianza. La v.a. uniforme su [a,b]. Ripasso sulla v.a. normale. La v.a. esponenziale: definizione, esempi, mancanza di memoria. La v.a. Gamma Γ(α,λ). Trasformazioni di v.a. continue: Y=aX+b; come si trasforma la densità di probabilità. La densità di probabilità di X+Y nel caso generale e nel caso in cui X e Y sono indipendenti. Es: la somma di v.a. esponenziali i.i.d. o uniformi i.i.d.. La v.a. chi quadrato χ²(n).

Statistica inferenziale parametrica. Ripasso di intervalli di fiducia per stimare la media; stimatori non distorti per la media e la varianza. Funzione di verosimiglianza e di log-verosimiglianza. Stimatore di massima verosimiglianza. Esempi: popolazione Bernoulliana, popolazione continua uniforme su [0,θ] o su [θ, 2θ], popolazione normale N(μ,σ²), popolazione Poissoniana, popolazione esponenziale. Statistica sufficiente, fattorizzazione di Neyman. La partizione con A_t = {y: T(y)=t}. Caratterizzazione di statistica sufficiente. Statistica sufficiente minimale. La famiglia esponenziale; nel caso regolare con r=1: calcolo di E[T(Y)] e Var(T(Y)). Proprietà della famiglia esponenziale in forma ridotta per individuare una statistica sufficiente minimale. Proprietà di equivarianza degli SMV. Stimatore corretto (o non distorto), stimatore asintoticamente corretto; la media campionaria e la varianza campionaria. Gli stimatori di massima verosimiglianza sono stimatori consistenti. Lo scarto quadratico medio E[(T(Y)-θ)²]. Informazione attesa di Fisher. Teorema di Rao-Cramer. Efficienza di stimatore corretto.