Elementi di Topologia e di Analisi Funzionale

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1.    I concetti fondamentali della Topologia Generale e dell'Analisi Funzionale

• Topologie di intorni, spazi topologici, basi di intorni. Topologie più o meno fini su uno stesso insieme. Esempi semplici: casi importanti e casi estremi.

• Metriche, norme, seminorme, prodotti scalari e topologie indotte. Spazi metrici e spazi metrizzabili, spazi normati e spazi normabili, spazi localmente convessi, eccetera. Esempi.

• Condizioni per l'equivalenza topologica di metriche, norme, famiglie di seminorme. Norme topologicamente equivalenti o meno: casi della dimensione finita e infinita.

• Concetti topologici abituali: punti interni, esterni, di frontiera, di accumulazione; sottoinsiemi aperti, chiusi, densi; interno, esterno, frontiera e chiusura di un sottoinsieme; limiti, continuità, omeomorfismi, isometrie, isomorfismi; successioni convergenti, serie in spazi normati o localmente convessi. Rivisitazione dei concetti in termini di basi di intorni.

• Caratterizzazioni della continuità in termini di aperti e chiusi. Unicità o meno del limite e separazione di Hausdorff. Famiglie separate di seminorme.

• Convergenza di successioni in topologie indotte da metriche, norme e famiglie di seminorme: caratterizzazioni comode nelle applicazioni.

• Costruzioni canoniche di spazi topologici: sottospazi e prodotti finiti. Casi della topologia indotta da una metrica, da una norma, da una famiglia di seminorme, da un prodotto scalare.

• Basi numerabili di intorni e caratterizzazione dei vari concetti topologici in termini di successioni. Spazi localmente convessi metrizzabili.

2.    Completezza

• Successioni di Cauchy, spazi metrici completi, spazi di Banach, di Hilbert, di Fréchet. Sottospazi chiusi e prodotti di spazi completi. Completamenti di spazi metrici, normati, prehilbertiani, localmente convessi.

• Spazi importanti nelle applicazioni: spazi di funzioni limitate, continue, regolari; richiami sulla teoria di Lebesgue e spazi di funzioni sommabili. Esempi di sottospazi chiusi e di sottospazi densi in tali spazi, cenni sulla convoluzione.

• Teorema delle contrazioni di Banach e applicazioni al problema di Cauchy per equazioni differenziali ordinarie.

3.    Operatori e funzionali lineari e continui

• Continuità degli operatori lineari fra spazi normati, spazio degli operatori lineari e continui fra due spazi normati, duale di uno spazio normato e sua completezza.

• Duale di L^p con p finito: enunciato del Teorema di rappresentazione di Riesz.

4.    Elementi della teoria degli spazi di Hilbert

• Minimizzazione di funzionali quadratici negli spazi di Hilbert reali e varie conseguenze: Teorema di rappresentazione di Riesz e Teorema delle proiezioni.

• Decomposizione di uno spazio di Hilbert in due sottospazi ortogonali. Cenni sulla decomposizione in una infinità numerabile di sottospazi ortogonali e sulle serie di Fourier.

5.    Compattezza

• Definizione di spazio compatto e di sottoinsieme compatto e loro legami, immagini continue di compatti, compattezza del prodotto. Legami fra chiusura e compattezza dei sottoinsiemi: caso della separazione di Hausdorff. Legami fra compattezza dei sottoinsiemi e finezza della topologia.

• Compattezza sequenziale, caso degli spazi metrizzabili. Compatti di uno spazio euclideo.

• Compattezza negli spazi di Banach: dimensione finita e infinita. Ogni compatto in dimensione inifinita ha interno vuoto. Teorema di Ascoli e sue varianti. Applicazione agli spazi funzionali tradizionali.

• Il problema fondamentale del Calcolo delle Variazioni e introduzione alle topologie deboli. Topologia debole in uno spazio di Banach e topologia debole* nel duale di uno spazio di Banach, convergenze indotte, i casi di L^p e degli spazi di Hilbert.

• Teorema di compattezza debole sequenziale negli spazi di Hilbert. Cenno sull'estensione agli spazi di Banach: spazi riflessivi e spazi uniformemente convessi, esempi importanti.

• Spazi topologici separabili. Spazi di Banach separabili e non: caratterizzazione della separabilità, esempi importanti. Enunciato del Teorema di compattezza debole* sequenziale nel duale di uno spazio di Banach separabile.

• Due applicazioni della compattezza debole: problema della semicontinuità e minimizzazione di funzionali convessi; metodo di Faedo-Galerkin e Teorema di Lax-Milgram.

6.    Problemi ellittici

• Spazi di Sobolev W^k,p, H^k,p e H^k : loro proprietà elementari e cenni sul Teorema "H=W" di Meyers-Serrin e sull'approssimabilità globale con funzioni regolari nel caso di aperti regolari. Teorema di traccia.

• Formulazione variazionale di semplici problemi ellittici e applicazione del Teorema di Lax-Milgram alla loro risoluzione.

• Complementi.