Il corso, la cui durata potrebbe essere di 30-40 ore, si rivolge soprattutto agli studenti che non sono laureati in Matematica e che, pur conoscendo i rudimenti del calcolo, hanno una preparazione carente in settori più astratti della matematica connessi con l'analisi. Scopo del corso è fornire a questi studenti una alfabetizzazione rapida per agevolarli in letture successive più approfondite.
Il corso è impostato in modo che procedano parallelamente, per quanto possibile, i capitoli della topologia generale e quelli dell'analisi funzionale. La trattazione, che vuole cercare un equilibrio fra l'aspetto logico-deduttivo e quello induttivo, presenta un numero limitato di dimostrazioni e punta sugli esempi importanti, soprattutto in vista delle applicazioni alle equazioni alle derivate parziali.
Il materiale didattico è la dispensa ad hoc
Elementi di Topologia e di Analisi Funzionale
disponibile nei formati dvi / ps / pdf .
1. I concetti fondamentali della Topologia Generale e dell'Analisi Funzionale
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Topologie di intorni, spazi topologici, basi di intorni. Topologie più o meno fini su uno stesso insieme. Esempi semplici: casi importanti e casi estremi.
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Metriche, norme, seminorme, prodotti scalari e topologie indotte. Spazi metrici e spazi metrizzabili, spazi normati e spazi normabili, spazi localmente convessi, eccetera. Esempi.
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Condizioni per l'equivalenza topologica di metriche, norme, famiglie di seminorme. Norme topologicamente equivalenti o meno: casi della dimensione finita e infinita.
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Concetti topologici abituali: punti interni, esterni, di frontiera, di accumulazione; sottoinsiemi aperti, chiusi, densi; interno, esterno, frontiera e chiusura di un sottoinsieme; limiti, continuità, omeomorfismi, isometrie, isomorfismi; successioni convergenti, serie in spazi normati o localmente convessi. Rivisitazione dei concetti in termini di basi di intorni.
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Caratterizzazioni della continuità in termini di aperti e chiusi. Unicità o meno del limite e separazione di Hausdorff. Famiglie separate di seminorme.
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Convergenza di successioni in topologie indotte da metriche, norme e famiglie di seminorme: caratterizzazioni comode nelle applicazioni.
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Costruzioni canoniche di spazi topologici: sottospazi e prodotti finiti. Casi della topologia indotta da una metrica, da una norma, da una famiglia di seminorme, da un prodotto scalare.
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Basi numerabili di intorni e caratterizzazione dei vari concetti topologici in termini di successioni. Spazi localmente convessi metrizzabili.
2. Completezza
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Successioni di Cauchy, spazi metrici completi, spazi di Banach, di Hilbert, di Fréchet. Sottospazi chiusi e prodotti di spazi completi. Completamenti di spazi metrici, normati, prehilbertiani, localmente convessi.
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Spazi importanti nelle applicazioni: spazi di funzioni limitate, continue, regolari; richiami sulla teoria di Lebesgue e spazi di funzioni sommabili. Esempi di sottospazi chiusi e di sottospazi densi in tali spazi, cenni sulla convoluzione.
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Teorema delle contrazioni di Banach e applicazioni al problema di Cauchy per equazioni differenziali ordinarie.
3. Operatori e funzionali lineari e continui
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Continuità degli operatori lineari fra spazi normati, spazio degli operatori lineari e continui fra due spazi normati, duale di uno spazio normato e sua completezza.
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Duale di Lp con p finito: enunciato del Teorema di rappresentazione di Riesz.
4. Elementi della teoria degli spazi di Hilbert
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Minimizzazione di funzionali quadratici negli spazi di Hilbert reali e varie conseguenze: Teorema di rappresentazione di Riesz e Teorema delle proiezioni.
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Decomposizione di uno spazio di Hilbert in due sottospazi ortogonali. Cenni sulla decomposizione in una infinità numerabile di sottospazi ortogonali e sulle serie di Fourier.
5. Compattezza
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Definizione di spazio compatto e di sottoinsieme compatto e loro legami, immagini continue di compatti, compattezza del prodotto. Legami fra chiusura e compattezza dei sottoinsiemi: caso della separazione di Hausdorff. Legami fra compattezza dei sottoinsiemi e finezza della topologia.
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Compattezza sequenziale, caso degli spazi metrizzabili. Compatti di uno spazio euclideo.
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Compattezza negli spazi di Banach: dimensione finita e infinita. Ogni compatto in dimensione inifinita ha interno vuoto. Teorema di Ascoli e sue varianti. Applicazione agli spazi funzionali tradizionali.
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Il problema fondamentale del Calcolo delle Variazioni e introduzione alle topologie deboli. Topologia debole in uno spazio di Banach e topologia debole* nel duale di uno spazio di Banach, convergenze indotte, i casi di Lp e degli spazi di Hilbert.
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Teorema di compattezza debole sequenziale negli spazi di Hilbert. Cenno sull'estensione agli spazi di Banach: spazi riflessivi e spazi uniformemente convessi, esempi importanti.
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Spazi topologici separabili. Spazi di Banach separabili e non: caratterizzazione della separabilità, esempi importanti. Enunciato del Teorema di compattezza debole* sequenziale nel duale di uno spazio di Banach separabile.
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Due applicazioni della compattezza debole: problema della semicontinuità e minimizzazione di funzionali convessi; metodo di Faedo-Galerkin e Teorema di Lax-Milgram.
6. Problemi ellittici
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Spazi di Sobolev Wk,p, Hk,p e Hk : loro proprietà elementari e cenni sul Teorema "H=W" di Meyers-Serrin e sull'approssimabilità globale con funzioni regolari nel caso di aperti regolari. Teorema di traccia.
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Formulazione variazionale di semplici problemi ellittici e applicazione del Teorema di Lax-Milgram alla loro risoluzione.