Analisi 3,   Equazioni Differenziali e Sistemi Dinamici

IN EVIDENZA:

Sono disponibili i testi dei temi d'esame assegnati negli appelli della sessione invernale.

2. 02/10/17. Introduzione al corso. Concetto di equazione differenziale. Equazioni ordinarie e a derivate parziali. Equazioni scalari e sistemi. Equazioni lineari. Equazioni in forma normale. Problemi rilevanti: esistenza, unicità, regolarità della soluzione; determinazione esplicita/numerica/qualitativa; comportamento per tempi lunghi.
5. 06/10/17. Richiami su spazi metrici, normati, completezza, compattezza. Problema di Cauchy per un'equazione differenziale ordinaria. Un'equazione di ordine n può essere ricondotta a un sistema del primo ordine.
   
   
7. 09/10/17. Formulazione integrale del problema di Cauchy. Problema in avanti. Condizione di Lipschitz locale. Teorema di esistenza e unicità "in piccolo" e dimostrazione.
10. 13/10/17. Prolungamento delle soluzioni. Soluzioni massimali. Criterio di non massimalità. Teorema di esistenza e unicità "in grande". Alcuni esempi.
    
    
12. 16/10/17. Ulteriori esempi. Dipendenza continua dai dati iniziali (caso generale con dimostrazione).
15. 20/10/17. Teorema del confronto, disuguaglianze differenziali. Equazioni a variabili separabili, equazioni di Bernoulli. Svolgimento di alcuni esercizi.
    
    
17. 23/10/17. Equazioni omogenee. Equazioni autonome del secondo ordine. Esercizi. Introduzione ai sistemi lineari. Endomorfismi diagonali a blocchi.
20. 27/10/17. Diagonalizzazione delle matrici quadrate. Forma canonica reale. Matrici non diagonalizzabili. Forma canonica di Jordan. Endomorfismi nilpotenti. Studio qualitativo delle soluzioni di un'equazione differenziale.
    
    
22. 30/10/17. Esempi di calcolo della forma canonica di Jordan. Caso di autovalori complessi. Sistemi lineari del primo ordine a coefficienti variabili: applicabilità della teoria generale.
25. 03/11/17. Sistemi lineari diagonali e diagonalizzabili. Caso degli autovalori complessi. Svolgimento di un esercizio.
    
    
27. 06/11/17. Matrice esponenziale. Trattazione dei sistemi lineari non diagonalizzabili. Un esercizio.
30. 10/11/17. Equazioni lineari scalari di ordine superiore al primo. Svolgimento di alcuni esercizi.
    
    
32. 13/11/17. Introduzione alla teoria della stabilità. Punti critici. Decadimento esponenziale dei sistemi lineari.
35. 17/11/17. Classificazione dei punti critici per i sistemi lineari bidimensionali. Svolgimento di esercizi.
    
    
37. 20/11/17. Introduzione alla teoria della stabilità per sistemi non lineari. Metodo di linearizzazione, esempi. Punti critici stabili, asintoticamente stabili, instabili.
40. 24/11/17. Proprietà generiche. Comportamento dei sistemi bidimensionali non lineari nell'intorno dei punti critici. Funzioni di Liapounov e relativo teorema. Integrali primi. Equazioni della forma y'=g(ax+by). Equazioni di Clairaut. Svolgimento di esercizi.
    
    
42. 27/11/17. Orbite intere. Orbite periodiche. Criterio per la stabilità asintotica. Esempi.
45. 01/12/17. Criteri per la determinazione di integrali primi e di funzionali di Liapounov. Svolgimento di esercizi. Esempi ed applicazioni relativi alla teoria della stabilità.
    
    
48. 04/12/17. Caratterizzazione degli spazi metrici compatti. Teorema di Ascoli e dimostrazione.
    
    
50. 11/12/17. Applicazioni del teorema di Ascoli. Teorema di Peano e dimostrazione. Estensione dei risultati di prolungamento delle soluzioni al caso senza unicità.
53. 15/12/17. Soluzione "massima" e "minima" di un problema di Cauchy nelle ipotesi del teorema di Peano. Svolgimento di esercizi (in particolare, studio delle orbite di sistemi 2x2 e uno studio qualitativo nelle ipotesi del teorema di Peano).
    
    
55. 08/01/18. Svolgimento di temi d'esame.
57. 12/01/18. Svolgimento di temi d'esame.

2. 05/10/17. Introduzione. Richiami sulle serie di potenze. Richiami sulle forme differenziali.
4. 12/10/17. Derivata di una funzione di variabile complessa. Equivalenza tra derivabilità in senso complesso e differenziabilità delle componenti combinata con la validità delle condizioni di Cauchy-Riemann. Integrale di una funzione di variabile complessa lungo un cammino. Legami con le forme differenziali. Primitive di una funzione di variabile complessa.
6. 19/10/17. Lemma di Poincaré per le forme differenziali e dimostrazione. Non applicabilità alle funzioni olomorfe. Teorema di Cauchy in un triangolo. Teorema di Cauchy in un aperto stellato e conseguenze.
8. 26/10/17. Formula integrale di Cauchy. Analiticità delle funzioni olomorfe. Derivabilità delle serie di potenze in campo complesso.
10. 31/10/17. Regolarità delle funzioni olomorfe. Conseguenze: formule di Cauchy per le derivate, teorema di Liouville, teorema fondamentale dell'algebra. Svolgimento di alcuni esercizi.
12. 09/11/17. Sviluppi in serie di Laurent. Zeri di una funzione olomorfa. Ordine di uno zero isolato. Principio di identità delle funzioni olomorfe.
14. 16/11/17. Prolungamento complesso di funzioni analitiche reali. Singolarità isolate e loro classificazione. Ordine di un polo. Teorema di Casorati-Weierstrass. Grande teorema di Picard (enunciato). Esercizi.
16. 23/11/17. Indice di avvolgimento e sue proprietà. Residui. Metodi per il calcolo esplicito dei residui.
18. 30/11/17. Teorema dei residui. Alcuni esercizi. Applicazioni del teorema dei residui per la risoluzione di integrali.
20. 07/11/17. Lemma di Jordan. Integrali basati sul lemma di Jordan. Argomento e logaritmo in campo complesso. Rami di funzioni polidrome. Analiticità del logaritmo.
22. 14/12/17. Calcolo di integrali basati sull'uso di funzioni polidrome (potenze a esponente non intero, logaritmi). Residuo all'infinito.
24. 21/12/17. Principio dell'argomento, teorema di Rouché e dimostrazioni. Equazione di Laplace. Funzioni armoniche coniugate. Successioni di funzioni olomorfe, teorema di Montel e dimostrazione.
27. 11/01/18 (3 ore anziché due). Svolgimento di temi d'esame.

MATERIALE E LIBRI DI TESTO

TEMI D'ESAME

Prova scritta del 26/02/2018: testo degli esercizi.

Prova scritta del 30/01/2018: testo degli esercizi.

MODALITÀ D'ESAME

L'esame sarà costituito da una prova scritta e da un orale. Non ci sono soglie di ammissione all'orale, tuttavia l'andamento dello scritto influenzerà il voto finale.