Corsi di Laurea in Matematica e in Fisica

Anno Accademico 2018/2019

Analisi 3,   Equazioni Differenziali e Sistemi Dinamici

docente Giulio Schimperna



IN EVIDENZA:

Appello del 17/06/19: Si raccomanda di iscriversi all'appello d'esame entro e non oltre mercoledì 12/6. Si ricorda inoltre che, in caso il numero di iscritti fosse non superiore a 3, l'esame si svolgerà in linea di principio in forma solo orale (si vedano le Modalità d'esame in fondo a questa pagina). Il preavviso di 3 giorni lavorativi è necessario per stabilire con congruo anticipo se svolgere o no la prova scritta.

È online la versione corretta della dispensa di Equazioni Differenziali (sono state modificate solo le pagine dalla 88 alla fine).

Orario delle lezioni:
Lunedì 14.15-16 (equazioni differenziali)
Giovedì 14.15-16 (analisi complessa)
Venerdì 12.15-13 (analisi complessa oppure equazioni differenziali)
Venerdì 14.15-16 (equazioni differenziali)


CALENDARIO DELLE LEZIONI - EQUAZIONI DIFFERENZIALI

  1. 01/10/18. Introduzione al corso e descrizione delle modalità d'esame. Introduzione alle equazioni differenziali (EDO e EDP, ordine di un'EDP, forma normale, equazioni e sistemi, esempi).
  2. 05/10/18. Richiami di topologia degli spazi metrici. Soluzione in piccolo del problema di Cauchy. Problema in avanti. Formulazione integrale di Volterra. Problemi ai limiti.

  3. 08/10/18. Teorema delle contrazioni e dimostrazione. Teorema di esistenza e unicità "in piccolo" e dimostrazione.
  4. 12/10/18. Prolungamento delle soluzioni. Estensioni di funzioni Lipschitziane. Soluzioni massimali. Criterio di "non-massimalità". Equazioni a variabili separabili. Alcuni esempi.

  5. 15/10/18. Lemma di Gronwall. Teorema di esistenza e unicità "in grande". Dimostrazioni. Commenti ed esempi.
  6. 19/10/18. Convergenza uniforme sui compatti. Struttura dello spazio C(Ω). Dipendenza continua dai dati. Alcuni esempi.

  7. 22/10/18. Equazioni autonome. Esempi ed esercizi.
  8. 26/10/18. Equazioni omogenee. Equazioni autonome del secondo ordine. Teorema del confronto. Svolgimento di esercizi.

  9. 29/10/18. Svolgimento di un esercizio (studio qualitativo). Richiami di algebra lineare. Norme di matrici.

  10. 06/11/18. Struttura dello spazio delle soluzioni di un sistema lineare. Metodo della variazione delle costanti per le equazioni scalari. Matrici fondamentali e matrice risolvente.
  11. 09/11/18. Svolgimento di alcuni esercizi. Matrice esponenziale. Cambiamenti di coordinate e calcolo della matrice esponenziale.

  12. 12/11/18. Calcolo della matrice esponenziale nel caso di A diagonalizzabile con autovalori reali o complessi. Forma canonica reale di una matrice diagonalizzabile con autovalori complessi.
  13. 16/11/18. Svolgimento di uno studio qualitativo. Forma canonica di Jordan; considerazioni collegate ed esempi.

  14. 19/11/18. Trattazione degli autovalori complessi irregolari. Svolgimento di esercizi. Equazioni lineari omogenee a coefficienti costanti di ordine superiore al primo.
  15. 23/11/18. Metodo della variazione delle costanti per equazioni lineari di ordine superiore al primo. Matrice Wronskiana. Secondi membri di tipo esponenziale e trigonometrico.

  16. 26/11/18. Abbassamento di ordine di un'equazione lineare di cui si conosce una soluzione. Esercizi. Introduzione alla teoria della stabilità. Operatore di semigruppo. Spazio delle fasi. Punti di equilibrio.
  17. 30/11/18. Sistemi lineari: decadimento esponenziale e crescita esponenziale. Spazio stabile, spazio instabile e spazio centro. Classificazione dei punti di equilibrio dei sistemi bidimensionali. Alcuni esercizi.

  18. 03/12/18. Ulteriori esercizi. Punti di equilibrio di un sistema non lineare. Metodo di linearizzazione.
  19. 07/12/18. Stabilità dei punti critici. Proprietà generiche. Un esercizio.

  20. 10/12/18. Ulteriori osservazioni sul metodo di linearizzazione. Teorema di Liapounov. Integrali primi. ω-limiti. Insiemi positivamente e completamente invarianti.
  21. 14/12/18. Esempi di calcolo dell'ω-limite. Sistemi gradiente. Ricerca di integrali primi. Svolgimento di alcuni esercizi. Sottoinsiemi relativamente compatti in C(X;Y). Enunciato del teorema di Ascoli e dimostrazione di un'implicazione.

  22. 17/12/18. Conclusione della dimostrazione del Teorema di Ascoli. Teorema di Peano e dimostrazione.
  23. 21/12/18. Soluzioni "minima" e "massima" di un problema di Cauchy nel caso senza unicità. "Pennello" di Peano. Svolgimento di alcuni esercizi.

  24. 07/01/19. Svolgimento di esercizi in preparazione all'esame.
  25. 11/01/19. Svolgimento di esercizi in preparazione all'esame.

CALENDARIO DELLE LEZIONI - ANALISI COMPLESSA

  1. 04/10/18. Norme, spazi normati. Norma "del sup". Richiami sulle serie di potenze; in particolare, determinazione del raggio di convergenza.
  2. 05/10/18. Teoremi di derivazione e di integrazione per serie. Derivazione e integrazione delle serie di potenze. Serie di Taylor.

  3. 11/10/18. Funzioni analitiche in campo reale. Stime di Cauchy (condizioni per l'analiticità). Prodotto alla Cauchy di due serie. Continuità e derivabilità in campo complesso. Condizioni di Cauchy-Riemann.

  4. 18/10/18. Conseguenze delle condizioni di Cauchy-Riemann. Invertibilità locale delle funzioni olomorfe. Se f è somma di una serie di potenze, allora è olomorfa all'interno del cerchio di convergenza.
  5. 19/10/18. Integrazione di una funzione di variabile complessa lungo un cammino. Legami tra funzioni olomorfe e forme differenziali.

  6. 25/10/18. Richiami sulle forme differenziali. Lemma di Poincaré e dimostrazione. Non-applicabilità del lemma alle forme differenziali associate a una funzione olomorfa senza ipotesi aggiuntive di regolarità. Teorema di Cauchy in un triangolo e dimostrazione.

  7. 08/11/18. Formula integrale di Cauchy e dimostrazione. Sviluppabilità in serie di potenze delle funzioni olomorfe.
  8. 09/11/18. Conseguenze della formula integrale di Cauchy e considerazioni varie. Teorema di Morera. Svolgimento di alcuni esercizi.

  9. 15/11/18. Sviluppo in serie di Laurent. Caratterizzazione degli zeri di una funzione olomorfa. Alcuni esempi.

  10. 22/11/18. Principio di identità delle funzioni analitiche. Prolungamento complesso di una funzione analitica reale. Singolarità isolate e loro classificazione. Teorema di Casorati-Weierstrass. Esercizi.
  11. 23/11/18. Teorema di Liouville. Teorema fondamentale dell'algebra. Indice di avvolgimento di un cammino rispetto a un punto.

  12. 29/11/18. Calcolo dell'indice di avvolgimento. Teorema dei residui e dimostrazione. Formule per il calcolo dei residui ed esempi di applicazione. Formula di De L'Hopital in campo complesso.

  13. 06/12/18. Applicazioni del teorema dei residui per il calcolo di integrali. Funzioni polidrome. Formule di Cauchy-Riemann in coordinate polari.
  14. 07/12/18. Logaritmo in campo complesso. Analiticità del logaritmo. Ulteriori esercizi sugli integrali.

  15. 13/12/18. Integrali contenenti logaritmi o potenze a esponente non intero. Residuo all'infinito. Uso del residuo all'infinito per il calcolo di integrali.

  16. 20/12/18. Principio dell'argomento. Teorema di Rouché. Armoniche coniugate. Successioni di funzioni olomorfe, teorema di Montel.

  17. 10/01/19 Svolgimento di esercizi in preparazione all'esame.

MATERIALE E LIBRI DI TESTO

Gianni Gilardi, "Analisi 3", McGraw Hill
M.W. Hirsch, S. Smale. R.W. Devaney, "Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos", Elsevier - Academic Press.
Dispense (Schimperna, versione corretta) su Equazioni Differenziali.
Dispense (Vitali) su Equazioni Differenziali.
Dispense (Vitali) su Analisi Complessa.

TEMI D'ESAME

Prova scritta del 25/09/2018: testo degli esercizi.

Prova scritta del 04/09/2018: testo degli esercizi.

Prova scritta del 26/06/2018: testo degli esercizi.

Prova scritta del 26/02/2018: testo degli esercizi.

Prova scritta del 30/01/2018: testo degli esercizi.


MODALITÀ D'ESAME

L'esame sarà costituito da una prova scritta e da un orale.
Nel caso gli iscritti ad un appello siano non più di 3, la prova scritta viene svolta solo se qualcuno degli studenti iscritti lo richiede esplicitamente. In caso contrario, l'esame si svolge in forma solo orale (in questo caso l'orale avrà una durata maggiore).
Se gli iscritti sono almeno 4, la prova scritta viene svolta in ogni caso.
Si raccomanda dunque di iscriversi con almeno 3 giorni (lavorativi) di anticipo rispetto alla data dell'appello (per esempio se l'appello è fissato per martedì 22, le iscrizioni andrebbero fatte entro la sera di giovedì 17).
Non ci sono soglie di ammissione all'orale, tuttavia l'andamento dello scritto influenzerà il voto finale.



Ultimo aggiornamento: 3 giugno 2019.