IN EVIDENZA:

Riassunto delle lezioni:

• 15/04/10. Prerequisiti: terne hilbertiane; immersioni di Sobolev; spazi di funzioni a valori vettoriali, teoremi di compattezza (Ascoli, Aubin-Lions)
• 19/04/10. Equazione di Allen-Cahn: esistenza di una soluzione forte locale col metodo delle contrazioni.
• 21/04/09 (un'ora). Equazione di Allen-Cahn: prolungamento delle soluzioni forti, unicità.
• 22/04/10. Equazione di Allen-Cahn: esistenza e unicità delle soluzioni deboli. Osservazioni finali.
• 26/04/10. Equazione delle onde semilineare con smorzamento: esistenza e unicità delle soluzioni forti. Prolungamento e soluzioni massimali. Esistenza di soluzioni deboli.
• 28/04/10 (un'ora). Equazione delle onde semilineare con smorzamento: unicit\`a delle soluzioni deboli. Considerazioni finali su regolarit\`a e unicit\`a. Sistemi dinamici "astratti": introduzione.
• 29/04/10. Sistemi dinamici astratti. Orbite, insiemi invarianti. Punti di equilibrio. Dissipatività. Omega-limite e sue proprietà. Attrattore universale, sue proprietà e caratterizzazione come unione delle orbite complete limitate.
• 03/05/10. Connessione dell'attrattore universale. Misura di non-compattezza di Kuratowski e sue proprietà. Teorema di esistenza dell'attrattore universale. Un esempio: oscillatore non lineare.
• 05/05/10 (un'ora). Punti di equilibrio. Funzionali di Liapounov. Sistemi gradiente. Attrattore come varietà instabile dell'insieme dei punti critici.
• 06/05/10. Semigruppo associato all'equazione di Allen-Cahn. Dissipatività.
• 10/05/10. Esistenza di un insieme compatto assorbente per l'equazione di Allen-Cahn.
• 12/05/10 (un'ora). Semigruppo associato all'equazione delle onde semilineare con smorzamento. Dissipatività.
• 13/05/10. Potenze frazionarie di un operatore positivo. Attrattore universale per l'equazione delle onde semilineare con smorzamento nel caso sottocritico.

Proposte di seminari:

• Formule di integrazione per parti per equazioni paraboliche: dispensa di Gilardi, che contiene anche materiale utile sugli spazi di funzioni a valori vettoriali.
• Dimostrazione del Teorema di Aubin-Lions: articolo di Simon (rivolgersi al docente).
• Risoluzione (per esempio) dell'equazione di Allen-Cahn col metodo di Galerkin: Capitolo 7 libro di Robinson (rivolgersi al docente).
• Attrattore globale per semigruppi "chiusi": articolo di Pata-Zelik.
• Attrattore globale per l'equazione delle onde con nonlinearità di crescita critica (cubica): articolo di Pata-Zelik.
• Costruzione dell'attrattore esponenziale in spazi di Banach: articolo di Efendiev-Miranville-Zelik (vedi solo la Prop. 1)

Modalità d'esame:

L'esame si svolgerà in forma solo orale.

Materiale scaricabile:

• Dispensa, versione del 4/6/2010.
• Dispensa, versione dell'11/5/2010.
• Dispensa, versione del 27/4/2010.
• Dispensa, versione del 20/4/2010.
• Dispensa di Cecilia Cavaterra ed Elisabetta Rocca (rielaborata da una dispensa più vecchia scritta da Maurizio Grasselli e Vittorino Pata) su sistemi dinamici astratti e attrattori globali.