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Quarta bozza della mini-dispensa 2011-12 (rispetto alla terza bozza sono state fatte parecchie aggiunte e correzioni).

Nuovo orario: l'orario del corso è stato modificato come segue:
lunedì 14.15-16, E9
martedì 11.15-13, E9
venerdì 14.15-16, E9

Programma (di massima) del corso:

• Richiami sugli operatori lineari non limitati. Il teorema di Hille-Yosida nel caso lineare.
• Forme geometriche del teorema di Hahn-Banach; funzioni convesse coniugate.
• Operatori massimali monotoni; sottodifferenziali.
• Il teorema di Hille-Yosida nel caso non lineare.
• Metodi di approssimazione: Faedo-Galerkin, discretizzazione in tempo.
• Applicazioni: equazione di Allen-Cahn; equazione delle onde semilineare; sistema di Navier-Stokes.

Calendario delle lezioni e riassunto degli argomenti trattati:

1. 05/03/12. Presentazione del corso e descrizione del programma. Definizione di operatore massimale monotono e proprietà fondamentali (chiusura, dominio denso). Risolvente e approssimata Yosida. Riferimento: cap. 7 Brezis.
2. 06/03/12. Risolvente e approssimata Yosida (continuazione). Teorema di Cauchy-Lipschitz in ambito infinito-dimensionale. Teorema di Hille-Yosida per operatori lineari: enunciato e prima parte della dimostrazione (unicità e stime a priori). Riferimento: cap. 7 Brezis.
3. 09/03/12. Teorema di Hille-Yosida per operatori lineari: conclusione della dimostrazione (passaggio al limite). Caso in cui il dato iniziale è più regolare. Richiami sugli operatori lineari simmetrici ed autoaggiunti. Riferimento: cap. 7 Brezis e Oss. 1.16 Pozzi.
4. 12/03/12. Teorema di Hille-Yosida: caso autoaggiunto. Considerazioni conclusive. Richiami su: funzioni convesse, s.c.i. e proprie, funzione convessa coniugata, teorema di Fenchel-Moreau. Riferimento: cap. 7 Brezis per Hille-Yosida; cap. 1 Brezis e dispensa Pozzi (paragrafi 1.2.1, 1.2.2) per le parti di analisi convessa.
5. 13/03/12. Esempi di funzioni convesse coniugate. Relazione tra la velocità di crescita di una funzione e quella della sua coniugata. Riferimento: dispensa Pozzi (pagg. 9-15).
6. 16/03/12. Operatori monotoni multivoci e loro proprietà elementari. Alcuni esempi. Differenziale di Fréchet. Riferimento: dispensa Pozzi. (pagg. 33-37).
7. 19/03/12. Differenziale di Gateau. Un lemma di analisi convessa. Sottodifferenziale e sue proprietà principali. Riferimento: dispensa Pozzi (Prop. 1.10 (i) e (ii); quindi pagg. 37-40. Può essere interessante leggere anche l'Oss. 2.3, che è stata saltata a lezione).
8. 20/03/12. Esempi di sottodifferenziale. Operatori massimali monotoni non lineari e loro proprietà elementari. Riferimento: dispensa Pozzi (pagg. 41-48 - non tutti gli esempi riportati sulla dispensa sono stati trattati a lezione).
9. 23/03/12. Il sottodifferenziale di una funzione convessa sci propria è massimale monotono; proprietà del risolvente di un operatore max. monotono. Riferimento: dispensa Pozzi (pagg. 48-51).
10. 26/03/12. Approssimata di Yosida di un operatore massimale monotono e sue proprietà. Operatori ciclicamente monotoni (cenni). Riferimento: dispensa Pozzi (pagg. 51-52 e, senza dimostrazioni, 56-57).
11. 27/03/12 Approssimata di Yosida di un sottodifferenziale. Esempi nei casi finito ed infinito-dimensionale. Calcolo esplicito di alcune approssimate di Yosida. Riferimento: dispensa Pozzi (pagg. 58-65, saltando il Lemma 2.3).
12. 30/03/12. Introduzione ai problemi di evoluzione non lineari. Terne Hilbertiane. Perturbazioni singolari. Spazi di funzioni integrabili a valori vettoriali. Riferimento: dispensa Gilardi (pagg. 1-8).
13. 02/04/12. Derivata distribuzionale di una funzione a valori in uno spazio di Hilbert. Spazi di Sobolev a valori vettoriali. Spazi di Sobolev di tipo parabolico. Riferimento: Brezis (Corollario IV.24) e dispensa Gilardi (pagg. 8-13).
14. 03/04/12. Spazi di Sobolev di tipo parabolico, immersioni continue e formule di integrazione per parti. Funzioni debolmente continue a valori in uno spazio di Banach. Riferimento: dispensa Gilardi (pagg. 14-17) e dispensa EQEV-2009 (pag. 2).
15. 17/04/12: seminario tenuto da Antonio Segatti.
16. 20/04/12. Teorema di Aubin-Lions. Lemma sul passaggio al limite nelle approssimazioni Yosida. Riferimento: dispensa EQEV-2011 e fotocopie del libro di Robinson.
17. 27/04/12. Estensione di un sottodifferenziale da H a L²(0,T;H). Formula di integrazione per parti rispetto al tempo per sottodifferenziali. Riferimento: dispensa EQEV-2011.
18. 04/05/12. Esistenza in piccolo di una soluzione forte per l'equazione di Allen-Cahn con termine nonlineare regolare di crescita arbitrariamente veloce. Riferimento: dispensa EQEV-2009.
19. 07/05/12. Esistenza in grande di una soluzione forte per l'equazione di Allen-Cahn con termine nonlineare globalmente Lipschitz (riferimento: dispensa EQEV-2009). Esistenza di una soluzione debole nel caso con termine nonlineare monotono di crescita arbitrariamente veloce (riferimento: dispensa EQEV-2011).
20. 08/05/12. Estensione di un sottodifferenziale e approssimate Yosida. Ulteriori proprietà della soluzione dell'equazione di Allen-Cahn: regolarizzazione parabolica, uguaglianza dell'energia. Riferimento: dispensa EQEV-2011.
21. 11/05/12: seminario tenuto da Elena Bonetti.
22. 14/05/12: Ulteriori proprietà della soluzione dell'equazione di Allen-Cahn: esistenza dell'ω-limite, cenni sulla buona positura in L¹. Introduzione all'equazione delle onde semilineare con smorzamento. Esistenza di soluzioni (deboli e forti) nel caso lineare. Riferimento: dispense EQEV-2009 e EQEV-2011.
23. 15/05/12: Equazione delle onde semilineare con smorzamento: esistenza di una soluzione globale forte nel caso con termine non-lineare Lipschitz; esistenza e unicità della soluzione debole nel caso con termine non-lineare di crescita al più cubica; cenni sull'uguaglianza dell'energia. Riferimento: dispensa EQEV-2011.
24. 04/06/12: lezione informale (discussione degli appunti su Navier-Stokes, risposta a dubbi e domande, calendario ed argomenti per l'esame orale).