Elisabetta
Rocca. Corso di Analisi Matematica 1 (cdl in Matematica) .
Calendario delle lezioni (Anno
Accademico 2011/2012):
05 ottobre 2011 (2 ore) : Presentazione del
corso. Rappresentazione decimale dei numeri razionali e reali.
Ordinamento nei reali. Intervalli. Teorema di densita' (con dim).
Definizioni di sup, inf, massimo e minimo. Enunciato del teorema di
completezza di R.
07 ottobre 2011 (2 ore) : Dimostrazione del
teorema di completezza di R. Teorema dell'elemento separatore (senza
dim.). Operazioni di somma e prodotto in R. R e' un campo archimedeo.
Esercizi su sup, inf, max e min.
11 ottobre 2011 (2 ore) : Introduzione della
radice ennesima, potenze con esponenti razionali e reali, logaritmi.
Definizione di funzione. Esempi di grafici di funzioni elementari.
Composizione di funzioni. Esercizi.
12 ottobre 2011 (2 ore): Definizione di
funzione biunivoca, inversa, monotona e strettamente monotona. Esercizi
su inverse e disequazioni e sup e inf di insiemi.
14 ottobre 2011 (2 ore): Introduzione al campo
dei complessi. Operazioni di somma e prodotto, elementi neutri, opposto
e reciproco. R e' isomorfo a un sottocampo di C. Forma algebrica dei
numeri complessi. Definizione di modulo, coniugio e loro proprieta'.
Rappresentazione geometrica dei numeri complessi. Esercizi su
disequazioni e sup e inf di insiemi.
18 ottobre 2011 (2 ore): Forma trigonometrica
ed esponenziale dei numeri complessi. Proprieta' dell'esponenziale
complessa (con dim.). Formula di de Moivre (con dim.). Il Teorema
fondamentale dell'algebra (senza dim.). Esempi ed esercizi.
19 ottobre 2011 (2 ore): Radici di numeri complessi (con dim.). Esercizi sui numeri complessi.
21 ottobre 2011 (2 ore): Definizione di
cardinalita' o potenza. Insiemi equipotenti, insiemi numerabili.
Teoremi su sottoinsiemi di insiemi numerabili (con dim.). Z e Q sono
numerabili (con dim). R e' equipotente a (0,1) e (0,1). Teorema di
Cantor (con dim.). Esercizi sui numeri complessi.
25 ottobre 2011 (2 ore): Proprieta' degli
insiemi infiniti. Cardinalita' dell'insieme delle parti di N (con
dim.). Cardinalita' degli insiemi delle parti di X. Definizione di
spazio metrico. Esercizi sui numeri complessi.
26 ottobre 2011 (2 ore): Esercizi di ricapitolazione. Definizione di seno e coseno complessi.
28 ottobre 2011 (2 ore): Distanze ed intorni
in R, R^N, nello spazio delle funzioni limitate. Definizione di punti
interni, esterni, frontiera. Esempi.
2 novembre 2011 (2ore): Definizione di punto
di accumulazione ed isolato. Cartatterizzazione dei punti di
accumulazione (con dim.). Esempi. DEfinizione di chiusi ed aperti.
Caratterizzazione dei chiusi in spazi metrici (con dim.). Proprieta'
dei chiusi in R (con dim.). Unione e intersezione di chiusi ed aperti
(con dim.). Definizione di chiusura e proprieta' (con dim.).
Definizione di diametro e di insieme limitato in spazi metrici.
Proprieta' del diametro (con dim.).
4 novembre 2011 (2 ore): Esercizi su calcolo di interno, chiusura, derivato di insiemi.
8 novembre 2011 (2 ore): Esercizi di riepilogo.
9 novembre 2011 (2 ore):
Successioni in spazi metrici. Definizione di successione convergente,
limitata e legami (con dim.). Unicita' del limite (con dim.). Esempi.
Definizione di successione divergente, oscillante in R. Esempi.
11 novembre 2011 (2 ore):
Definizione di successioni convergenti da destra e da sinistra in R.
Definizione di intorni e convergenza in R esteso. Esempi. Unicita' del
limite. Limite di sottosuccessioni di successioni divergenti. Teorema
della permanenza del segno e del confronto per successioni (con dim.).
Calcolo dei limiti di sen(x_n)/x_n, 1-cos(x_n)/x_n^2, per x_n
infinitesima. Limite della somma, prodotto, quoziente, potenza e
logaritmo per successioni convergenti.
15 novembre 2011 (2 ore): Esercizi di ricapitolazione.
23 novembre 2011 (2 ore):
Limiti di successioni nella retta estesa. Esempi. Successioni monotone.
Teorema fondamentale per successioni monotone (con dim.).
25 novembre 2011 (2 ore):
Definizione della costante di Nepero (con dim.). Calcolo di limiti
notevoli conseguenti. Confronti tra infiniti ed infinitesimi (con
dim.). Esercizi.
29 novembre 2011 (2 ore): Definizione di o piccolo ed asintotico. Proprieta' ed esempi. Esercizi sul calcolo di limiti di successioni.
30 novembre 2011 (2 ore): Definizione di O grande, stesso ordine di grandezza. Esercizi.
2 dicembre 2011 (2 ore): Successioni in R^k, definizione di classe limite ed esercizi sul calcolo di limsup e liminf. Proprieta' di limsup e liminf.
6 dicembre 2011 (2 ore): Condizione
di Cauchy per successioni. Definizione di spazio metrico completo.
Definizione di serie, convergenza di serie. Esempi. Condizione di
Cauchy per le serie (con dim.). Condizione necessaria per convergenza
delle serie. Criteri del confronto, confronto asintotico e radice per
serie a termini positivi.
13 dicembre 2011 (2 ore):
Criterio del rapporto e generalizzazioni del criterio del rapporto e
della radice. Esercizi. Teorema di condensazione. Dimostrazione di
convergenza di serie armioniche generalizzate. Criterio di Leibnitz
(con dimostrazione). Esempi.
14 dicembre 2011 (2 ore): Esercizi sulla convergenza di serie. Convergenza incondizionata. Prodotto alla Cauchy.
16 dicembre 2011 (2 ore): Esercizi sulle serie.
20 dicembre 2011 (2 ore): Definizione
di limite di funzioni. Esempi e proprieta' per funzioni a valori reali.
Teorema del confronto. Teorema della permanenza del segno (con
dimostrazione). Confronto con limiti di successioni.
21 dicembre 2011 (2 ore):
Calcolo di limiti di funzioni. Asintotico per funzioni. Ordine
d'infinitesimo e di infinito. Asintoti. Esercizi. Definizione di
funzione continua e prime proprieta'.
11 gennaio 2012 (2 ore):
Compattezza e connessione. Esempi. Condizioni necessarie e sufficienti.
Teorema di Heine-Borel (senza dim.). Teorema di Bolzano Weierstrass
(con dim.). Dimostrazione del fatto che i connessi in R sono singoletti
o intervalli. Teorema di Weiestrass (senza dim.). Teorema di Darboux
(con dim.). Teorema dei valori intermedi (con dim.). Teorema degli
zeri. Esempi.
12 gennaio 2012 (2 ore):
definizione di funzione uniformemente continua e Lipschitziana, esempi.
Teorema di Heine-Cantor (senza dim. ). Discontinuita', definizioni ed
esempi. Funzioni monotone. Discontinuita' di funzioni monotone (con
dim.). Continuita' dell'inversa (senza dim.). Esercizi su limiti,
continuita' e asintoti.
13 gennaio 2012 (2 ore): Esercizi di ricapitolazione.
