Analisi Numerica 1 (2017/2018)

Corso di Laurea Triennale in Matematica


Docenti

  • Giancarlo Sangalli
  • Mattia Tani

Diario delle lezioni

  • 2 marzo 2018, Aula E10, GS e MT
    introduzione al corso; alcuni esemi di algebra lineare appicata (es: approssimazione low-rank);
  • 5 marzo 2018, Aula E10, GS
    norme di vettore e di matrice, SVD e alcune sue proprieta`;
  • 7 marzo 2018, Aula E10, GS
    ancora sulla SVD: norma_2, norma_F e valori singolari (teorema con dimostrazione); miglior approssimazione di rango l < r (teorema con dimostrazione);
  • 9 marzo 2018, Aula Informatica, GS
    introduzione al MATLAB; introduzione ai numeri macchina: i formati MATLAB uint8 e quad
  • 12 marzo 2018, Aula Informatica, GS
    esercizi (MATLAB e non solo) sulla SVD;
  • 14 marzo 2018, Aula E10, GS, 1 ora
    proiezioni e proiezioni ortogonali; P proiez., e` ortogonle ⇔ P simmetrica (con dimostrazione); proiezione sullo span{a_1,...,a_n};
  • 16 marzo 2018, Aula E10, GS
    fattorizzazione QR; pseudocodice per Gram - Schmidt classico (instabile); Teorema di esistenza della fattorizzazione QR (con dimostrazione), e unicitÓ nel caso A abbia rango max;
  • 19 marzo 2018, Aula E10, GS
    Interpretazione di Gram - Schmidt in termini di proiettori (per calcolare q_j proietto la colonna j-esima di A sullo spazio ortogonale a q_1,...q_{j-1}), pseudocodice per Gram-Schmidt modificato (stabile);
  • 21 marzo 2018, Aula E10, MT
    sistemi triangolari;
  • 23 marzo 2018, Aula E10, GS e MT
    algoritmo di Householder; Minimi quadrati: definizione, esempi di approssimazione polinomiale;
  • 26 marzo 2018, Aula E10, GS
    Minimi quadrati: caratterizzazione della soluzione, algoritmi (eq. normali, QR, SVD); definizione del condizionamento (relativo) di un problema ed esempi
  • 28 marzo 2018, Aula E10, GS
    Ancora sul condizionamento, esempi;
  • 4 aprile 2018, Aula Informatica, MT e GS
    Esercizi I MATLAB su sistemi triangolari, Gram-Schmidt, e fattorizzazione QR;
  • 6 aprile 2018, Aula E10, GS
    Il formato "floating point": lo standard IEEE 754, epsilon macchina, arrotondamento, aritmetica macchina. Stabilita` all'indietro di un algoritmo. Teorema sull' errore (relativo) di un algoritmo stabile all'indietro; stabilita` della differenza di numeri. Stabilita` dell'algoritmo di soluzione di un sistema lineare.
  • 9 aprile 2018, Aula Informatica, GS e MT
    Esercizi MATLAB sulla stabilita` dei solutori del problema dei minimi quadrati: utilizzare le soluzioni di riferimento in alpha_cos.mat e alpha_sign.mat;
  • 11 aprile 2018, Aula E10, MT
    eliminazione di Gauss senza pivoting; esempi, pseudocodice, costo computazionale, discussione sulla stabilita`;
  • 13 aprile 2018, Aula E10, MT+GS
    condizioni per l'esistenza e unicita` della fattorizzazione LU senza pivoting (con dimostrazione); eliminazione di Gauss per matrici a banda (con dimostrazione per induzione della struttura a banda dei fattori LU); pivoting;
  • 16 aprile 2018, Aula E10, MT
    Pivoting parziale (con pseudocodice) e pivoting totale; discussione su esistenza e unicitÓ della fattorizzazione LU con pivoting; calcolo del determinante di una matrice;
  • 18 aprile 2018, Aula E10, MT+GS
    stabilitÓ dell'eliminazione di Gauss senza pivoting e con pivoting parziale; fattorizzazione di Cholesky;
  • 20 aprile 2018, Aula Informatica, MT+GS
    esercizi MATLAB su fattorizzazione LU e solutori diretti di sistemi lineari;
  • 23 aprile 2018, Aula E10,GS
    Diagonalizzazione di una matrice, diagonalizzazione di matrici normali, fattorizzazione di Shur. Quoziente di Rayleigh e caratterizzazione degli autovalori. Metodo delle potenze (dirette), metodo delle potenze inverse senza e con aggiornamento dello shift μ
  • 24 aprile 2018, Aula Informatica, GS + MT
    revisione dei codici MATLAB

Regole per l'esame

L'esame consiste in una prova scritta della durata di 1h30m, contenente quesiti teorici ed esercizi di calcolo, in una prova di programmazione in MATLAB/OCTAVE della durata di 1h30m (al computer, in aula informatica), ed in una breve prova orale. Lo studente dovra` inoltre preparare una breve relazione riguardante una delle esercitazioni svolte in aula informatica, a scelta (da inviare per posta elettronica entro il giorno dell'appello scritto, oppure da consegnare al termine dello scritto in formato elettronico o cartaceo).

Esempi di scritti d'esame

Alcuni link o appunti

Codice ed esempi MATLAB

  • immagine pavia.png per approssimazione low rank

Riferimenti bibliografici

  • appunti delle lezioni;
  • Alfio Quarteroni, Riccardo Sacco, Fausto Saleri, Paola Gervasio, Matematica Numerica, Springer;
  • Lloyd N. Trefethen, David Bau III, Numerical Linear Algebra, SIAM.

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