Corso di Laurea Triennale in Matematica
Docenti
- Giancarlo Sangalli
- Mattia Tani
Diario delle lezioni
- 2 marzo 2018, Aula E10, GS e MT
introduzione al
corso; alcuni esemi di algebra lineare appicata (es: approssimazione
low-rank);
- 5 marzo 2018, Aula E10, GS
norme di vettore e di matrice,
SVD e alcune sue proprieta`;
- 7 marzo 2018, Aula E10, GS
ancora sulla SVD: norma_2,
norma_F e valori singolari (teorema con dimostrazione); miglior
approssimazione di rango l < r (teorema con dimostrazione);
- 9 marzo 2018, Aula Informatica, GS
introduzione al
MATLAB; introduzione ai numeri macchina: i formati MATLAB uint8 e quad
- 12 marzo 2018, Aula Informatica, GS
esercizi
(MATLAB e non solo) sulla SVD;
- 14 marzo 2018, Aula E10, GS, 1 ora
proiezioni e proiezioni
ortogonali; P proiez., e` ortogonle ⇔ P simmetrica (con dimostrazione); proiezione
sullo span{a_1,...,a_n};
- 16 marzo 2018, Aula E10, GS
fattorizzazione QR; pseudocodice per Gram -
Schmidt classico (instabile); Teorema di esistenza della
fattorizzazione QR (con dimostrazione), e unicità
nel caso A abbia rango max;
- 19 marzo 2018, Aula E10, GS
Interpretazione di Gram -
Schmidt in termini di proiettori (per calcolare q_j proietto la
colonna j-esima di A sullo spazio ortogonale a q_1,...q_{j-1}),
pseudocodice per Gram-Schmidt modificato (stabile);
- 21 marzo 2018, Aula E10, MT
sistemi triangolari;
- 23 marzo 2018, Aula E10, GS e MT
algoritmo di
Householder; Minimi quadrati: definizione,
esempi di approssimazione polinomiale;
- 26 marzo 2018, Aula E10, GS
Minimi quadrati:
varie caratterizzazioni della soluzione (con dimostrazione dell'equivalenza), algoritmi (eq. normali, QR, SVD);
definizione del condizionamento (relativo) di un problema ed esempi
- 28 marzo 2018, Aula E10, GS
Ancora sul condizionamento, esempi;
- 4 aprile 2018, Aula Informatica, MT e GS
Esercizi I
MATLAB su sistemi triangolari, Gram-Schmidt, e fattorizzazione QR;
- 6 aprile 2018, Aula E10, GS
Il formato "floating point": lo
standard IEEE 754, epsilon macchina, arrotondamento, aritmetica macchina. Stabilita`
all'indietro di un algoritmo. Teorema sull' errore
(relativo) di un algoritmo stabile all'indietro; stabilita` della
differenza di numeri. Stabilita` dell'algoritmo di soluzione di un
sistema lineare.
- 9 aprile 2018, Aula Informatica, GS e MT
Esercizi
MATLAB sulla stabilita` dei solutori del problema dei minimi
quadrati: utilizzare le soluzioni di riferimento in alpha_cos.mat e alpha_sign.mat;
- 11 aprile 2018, Aula E10, MT
eliminazione di Gauss senza pivoting; esempi, pseudocodice, costo computazionale, discussione sulla stabilita`;
- 13 aprile 2018, Aula E10, MT+GS
condizioni per l'esistenza e unicita`
della fattorizzazione LU senza pivoting (con dimostrazione);
eliminazione di Gauss per matrici a banda (con dimostrazione per
induzione della struttura a banda dei fattori LU); pivoting;
- 16 aprile 2018, Aula E10, MT
Pivoting parziale (con pseudocodice) e pivoting totale; discussione su esistenza e unicità della fattorizzazione LU con pivoting; calcolo del determinante di una matrice;
- 18 aprile 2018, Aula E10, MT+GS
stabilità
dell'eliminazione di Gauss senza pivoting e con pivoting parziale; fattorizzazione di Cholesky;
- 20 aprile 2018, Aula Informatica, MT+GS
esercizi MATLAB
su fattorizzazione LU e solutori diretti di sistemi lineari;
- 23 aprile 2018, Aula E10,GS
Diagonalizzazione di una
matrice, diagonalizzazione di matrici normali, fattorizzazione di
Shur. Quoziente di Rayleigh e caratterizzazione degli
autovalori.
- 24 aprile 2018, Aula Informatica, GS + MT
revisione dei codici MATLAB
- 2 maggio 2018, Aula E10, GS
Diagonalizzazione di una
matrice, diagonalizzazione di matrici normali, fattorizzazione di
Shur. Quoziente di Rayleigh e caratterizzazione degli
autovalori.
- 4 maggio 2018, Aula E10, GS
stima dell'errore per
l'algoritmo delle potenze (con dimostrazione);
algoritmo delle potenze inverse, inverse con shift, con aggiornamento
dello shift;
- 7 maggio 2018, Aula Informatica, MT+GS
esercizi MATLAB su metodo potenze e generalizzazioni;
- 9 maggio 2018, Aula E10, GS
algoritmo delle potenze simultanee e
algoritmo QR;
- 11 maggio 2018, Aula E10, GS
equivalenza tra algoritmo delle potenze simultanee e
algoritmo QR (con dimostrazione);
stima a-posteriori per l'errore sull'autovalore (con dimostrazione);
primo teorema di Gershgorin (con dimostrazione);
- 14 maggio 2018, Aula Informatica, MT+GS
conclusione sugli
esercizi
MATLAB riguardanti il metodo potenze; facoltativamente: 1) programmare
e testare un criterio di arresto per il metodo delle potenze e 2)
studiare numericamente le regioni di convergenza verso i diversi
autovalori del metodo delle potenze con shift (senza aggiornamento) e
confrontare con il diagramma dei cerchi di Gershgorin, discutendo
alcuni esempi significativi;
- 16 maggio 2018, Aula E10, MT
Introduzione ai metodi iterativi e confronto con i metodi diretti; matrici sparse;
- 18 maggio 2018, Aula E10, MT
Metodi iterativi stazionari:
Jacobi e Gauss-Seidel; condizione necessaria e sufficiente per la
convergenza: raggio spettrale < 1 (con dimostrazione); condizione
sufficiente per la convergenza: matrice a dominanza diagonale (con
dimostrazione per Jacobi);
- 21 maggio 2018, Aula E10, MT+GS
Introduzione ai metodi di
Krylov; metodo dei Gradienti Coniugati (con pseudocodice).
- 23 maggio 2018, Aula E10 MT+GS
Gradienti Conigati;
ortogonalità dei residui e A-ortogonalintà delle direzioni di ricerca
(con dimostrazione);
- 25 maggio 2018, Aula E10 MT+GS
Stima della
convergenza di per CG: minimizzazione dell'errore in norma A (con dimostrazione) e stima
min-max polinomiale (con dimostrazione) e conseguenze; cenni sui precondizionatori;
- 28 maggio 2018, Aula Informatica, MT+GS
esercizi
sui solutori iterativi per sistemi
lineari;
- 30 maggio 2018, Aula Informatica, MT+GS
esercizi
sui solutori iterativi per sistemi
lineari;
- 1 giugno 2018, Aula Informatica, MT+GS
esercizi
sui solutori iterativi per sistemi
lineari;
- 4 giugno 2018, Aula E10, MT+GS
esercizi
su tutto il programma svolto;
- 6 giugno 2018, Aula E10, MT+GS
esercizi
su tutto il programma svolto;
Regole per l'esame
L'esame consiste in una prova scritta della durata di 1h30m, contenente quesiti teorici ed
esercizi di calcolo, in una prova di programmazione in
MATLAB/OCTAVE della durata di 1h30m (al
computer, in aula informatica), ed in una breve prova orale. Lo
studente dovra` inoltre preparare
una breve relazione riguardante una delle esercitazioni svolte in aula
informatica, a scelta (da
inviare per posta elettronica entro il giorno dell'appello scritto,
oppure da consegnare al termine dello scritto in formato elettronico o
cartaceo).
Esempi di scritti d'esame
Alcuni link o appunti
Codice ed esempi MATLAB
- immagine pavia.png per approssimazione
low rank
Riferimenti bibliografici
- appunti delle lezioni;
- Alfio Quarteroni, Riccardo Sacco, Fausto Saleri, Paola Gervasio,
Matematica Numerica, Springer;
- Lloyd N. Trefethen, David Bau III, Numerical Linear Algebra, SIAM.
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