Analisi Numerica 1 (2016/2017)

Corso di Laurea Triennale in Matematica


Docenti

  • Giancarlo Sangalli
  • Mattia Tani

Diario delle lezioni

  • 1 marzo 2017, Aula E10, MT, 1 ora
    introduzione al corso; alcuni esemi di algebra lineare appicata (es: PageRank);
  • 3 marzo 2017, Aula E10, GS
    SVD, definizione ed utilizzo per la compressione delle immagini (approssimazione low-rank);
  • 6 marzo 2017, Aula Informatica, GS
    esercizi (MATLAB e non solo) sulla SVD;
  • 8 marzo 2017, Aula E10, GS, 1 ora
    ancora sulla SVD: norma_2 e sigma_1 (teorema con dimostrazione); valori singolari ed autovalori (teorema con dimostrazione); alcuni esercizi;
  • 10 marzo 2017, Aula E10, GS
    ancora sulla SVD: miglior approssimazione di rango r (teorema con dimostrazione); introduzione ai numeri macchina: i formati MATLAB uint8 e quad
  • 13 marzo 2017, Aula E10, GS
    proiezioni e proiezioni ortogonali; P proiez., e` ortogonle ⇔ P simmetrica; proiezione sullo span{a_1,...,a_n}; ortogonalizzazione con Gram-Shmidt;
  • 15 marzo 2017, Aula E10, 1 ora MT
    pseudocodice per Gram - Schmidt (GS); Teorema di esistenza della fattorizzazione QR, e unicitÓ nel caso A abbia rango max; Interpretazione di GS in termini di proiettori (per calcolare q_j proietto la colonna j-esiam di A sullo spazio ortogonale a q_1,...q_{j-1}).
  • 17 marzo 2017, LEZIONE SOSPESA.
  • 20 marzo 2017, Aula E10, MT
    Gram-Schmidt modificato (MGS) (q_j viene calcolato come composizione di proiezioni sugli spazi ortogonali a ciascuno dei q_i, i=1,...,j-1); pseudocodice per MGS; Concetto di costo computazionale, flops; Analisi del costo computazionale per GS (2mn^2 flops); esercizio: vedere che viene lo stesso per MGS;
  • 22 marzo 2017, Aula E10, MT
    Matrici e sistemi triangolari: proprieta` e solutore; algoritmo di Householder (cenni);
  • 24 marzo 2017, Aula Informatica, MT e GS
    Esercizi I MATLAB su sistemi triangolari, Gram-Schmidt, e fattorizzazione QR;
  • 27 marzo 2017, Aula E10, GS
    Minimi quadrati: definizione, esempi di approssimazione polinomiale, caratterizzazione della soluzione, algoritmi (eq. normali, QR, SVD);
  • 29 marzo 2017, Aula E10, MT
    Dimostrazione alternativa di equivalenza fra minimi quadrati e equazioni normali, Condizionamento di un problema: condizionamento assoluto e relativo; esempi;
  • 31 marzo 2017, Aula Informatica, MT
    Esercizi II MATLAB sui minimi-quadrati;
  • 3 aprile 2017, Aula Informatica, MT e GS
    ancora Esercizi II MATLAB sui minimi-quadrati: test numerici sulla stabilita` dei vari algoritmi;
  • 5 aprile 2017, LEZIONE SOSPESA;
  • 7 aprile 2017, LEZIONE SOSPESA;
  • 10 aprile 2017, Aula E10, GS
    Ancora sul condizionamento di problemi: esempio del calcolo autovalori di una matrice qualunque, prodotto matrice vettore, soluzione di un sistema lineare, condizionamento di una matrice. Il formato "floating point": lo standard IEEE 754, epsilon macchina, arrotondamento, aritmetica macchina. Stabilita` all'indietro di un algoritmo.
  • 12 aprile 2017, Aula E10, GS + MT
    Teorema sull' errore (relativo) di un algoritmo stabile all'indietro; stabilita` della differenza di numeri. Stabilita` dell'algoritmo di soluzione di un sistema lineare.
  • 19 aprile 2017, Aula E10, GS
    Condizionamento del problema dei minimi quadrati, con dimostrazione del condizionamento per perturbazioni del termine noto b.
  • 21 aprile 2017, Aula Informatica, MT
    Esercizi MATLAB sulla stabilita` dei solutori del problema dei minimi quadrati: utilizzare le soluzioni di riferimento in alpha_cos.mat e alpha_sign.mat;
  • 26 aprile 2017, Aula E10, MT
    eliminazione di Gauss senza pivoting; esempi, pseudocodice, costo computazionale, discussione sulla stabilita`;
  • 28 aprile 2017, Aula E10, MT
    condizioni per l'esistenza della fattorizzazione LU senza pivoting; eliminazione di Gauss per matrici a banda; pivoting;
  • 3 maggio 2017, Aula E10, MT
    Pivoting parziale (con pseudocodice) e pivoting totale; discussione su esistenza e unicitÓ della fattorizzazione LU con pivoting; calcolo del determinante di una matrice; stabilitÓ dell'eliminazione di Gauss senza pivoting e con pivoting parziale; fattorizzazione di Cholesky (cenni);
  • 5 maggio 2017, Aula Informatica, MT+GS
    esercizi MATLAB su fattorizzazione LU e solutori diretti di sistemi lineari;
  • 8 maggio 2017, Aula E10, MT
    Introduzione ai metodi iterativi e confronto con i metodi diretti; matrici sparse; metodi iterativi stazionari (cenni); introduzione ai metodi di Krylov; metodo dei Gradienti Coniugati (con pseudocodice)
  • 10 maggio 2017, Aula E10, MT
    Ancora sui Gradienti Conigati; ortogonalitÓ dei residui e A-ortogonalintÓ delle direzioni di ricerca; minimizzazione dell'errore in norma A; stima min-max polinomiale e conseguenze.
  • 12 maggio 2017, Aula E10 + Aula Informatica, MT
    Stima della convergenza di per CG; precondizionatori (cenni) ed esercizi sui solutori iterativi per sistemi lineari;
  • 15 maggio 2017, Aula E10, GS
    Diagonalizzazione di una matrice, diagonalizzazione di matrici normali, fattorizzazione di Shur. Quoziente di Rayleigh e caratterizzazione degli autovalori. Metodo delle potenze (dirette), metodo delle potenze inverse senza e con aggiornamento dello shift μ
  • 17 maggio 2017, Aula E10, GS
    stima dell'errore per l'algoritmo delle potenze; algoritmo delle potenze simultanee e algoritmo QR, con dimostrazione dell'equivalenza tra i due;
  • 19 maggio 2017, Aula Informatica, MT+GS
    esercizi MATLAB su metodo potenze e generalizzazioni;
  • 22 maggio 2017, Aula Informatica, GS
    discussione sulle esercitazioni precedenti;

Regole per l'esame

L'esame consiste in una prova scritta della durata di 1h30m, contenente quesiti teorici ed esercizi di calcolo, in una prova di programmazione in MATLAB/OCTAVE della durata di 1h30m (al computer, in aula informatica), ed in una breve prova orale. Lo studente dovra` inoltre preparare una breve relazione riguardante una delle esercitazioni svolte in aula informatica, a scelta (da inviare per posta elettronica entro il giorno dell'appello scritto, oppure da consegnare al termine dello scritto in formato elettronico o cartaceo).

Esempi di scritti d'esame

Alcuni link o appunti

Codice ed esempi MATLAB

  • immagine pavia.png per approssimazione low rank

Riferimenti bibliografici

  • Alfio Quarteroni, Riccardo Sacco, Fausto Saleri, Paola Gervasio, Matematica Numerica, Springer.
  • Lloyd N. Trefethen, David Bau III, Numerical Linear Algebra, SIAM;

Last modification: May 2017 back to home Valid HTML 4.01!