Analisi Numerica 1 (2017/2018)

Corso di Laurea Triennale in Matematica


Docenti

  • Giancarlo Sangalli
  • Mattia Tani

Diario delle lezioni

  • 2 marzo 2018, Aula E10, GS e MT
    introduzione al corso; alcuni esemi di algebra lineare appicata (es: approssimazione low-rank);
  • 5 marzo 2018, Aula E10, GS
    norme di vettore e di matrice, SVD e alcune sue proprieta`;
  • 7 marzo 2018, Aula E10, GS
    ancora sulla SVD: norma_2, norma_F e valori singolari (teorema con dimostrazione); miglior approssimazione di rango l < r (teorema con dimostrazione);
  • 9 marzo 2018, Aula Informatica, GS
    introduzione al MATLAB; introduzione ai numeri macchina: i formati MATLAB uint8 e quad
  • 12 marzo 2018, Aula Informatica, GS
    esercizi (MATLAB e non solo) sulla SVD;
  • 14 marzo 2018, Aula E10, GS, 1 ora
    proiezioni e proiezioni ortogonali; P proiez., e` ortogonle ⇔ P simmetrica (con dimostrazione); proiezione sullo span{a_1,...,a_n};
  • 16 marzo 2018, Aula E10, GS
    fattorizzazione QR; pseudocodice per Gram - Schmidt classico (instabile); Teorema di esistenza della fattorizzazione QR (con dimostrazione), e unicitÓ nel caso A abbia rango max;
  • 19 marzo 2018, Aula E10, GS
    Interpretazione di Gram - Schmidt in termini di proiettori (per calcolare q_j proietto la colonna j-esima di A sullo spazio ortogonale a q_1,...q_{j-1}), pseudocodice per Gram-Schmidt modificato (stabile);
  • 21 marzo 2018, Aula E10, MT
    sistemi triangolari;
  • 23 marzo 2018, Aula E10, GS e MT
    algoritmo di Householder; Minimi quadrati: definizione, esempi di approssimazione polinomiale;
  • 26 marzo 2018, Aula E10, GS
    Minimi quadrati: varie caratterizzazioni della soluzione (con dimostrazione dell'equivalenza), algoritmi (eq. normali, QR, SVD); definizione del condizionamento (relativo) di un problema ed esempi
  • 28 marzo 2018, Aula E10, GS
    Ancora sul condizionamento, esempi;
  • 4 aprile 2018, Aula Informatica, MT e GS
    Esercizi I MATLAB su sistemi triangolari, Gram-Schmidt, e fattorizzazione QR;
  • 6 aprile 2018, Aula E10, GS
    Il formato "floating point": lo standard IEEE 754, epsilon macchina, arrotondamento, aritmetica macchina. Stabilita` all'indietro di un algoritmo. Teorema sull' errore (relativo) di un algoritmo stabile all'indietro; stabilita` della differenza di numeri. Stabilita` dell'algoritmo di soluzione di un sistema lineare.
  • 9 aprile 2018, Aula Informatica, GS e MT
    Esercizi MATLAB sulla stabilita` dei solutori del problema dei minimi quadrati: utilizzare le soluzioni di riferimento in alpha_cos.mat e alpha_sign.mat;
  • 11 aprile 2018, Aula E10, MT
    eliminazione di Gauss senza pivoting; esempi, pseudocodice, costo computazionale, discussione sulla stabilita`;
  • 13 aprile 2018, Aula E10, MT+GS
    condizioni per l'esistenza e unicita` della fattorizzazione LU senza pivoting (con dimostrazione); eliminazione di Gauss per matrici a banda (con dimostrazione per induzione della struttura a banda dei fattori LU); pivoting;
  • 16 aprile 2018, Aula E10, MT
    Pivoting parziale (con pseudocodice) e pivoting totale; discussione su esistenza e unicitÓ della fattorizzazione LU con pivoting; calcolo del determinante di una matrice;
  • 18 aprile 2018, Aula E10, MT+GS
    stabilitÓ dell'eliminazione di Gauss senza pivoting e con pivoting parziale; fattorizzazione di Cholesky;
  • 20 aprile 2018, Aula Informatica, MT+GS
    esercizi MATLAB su fattorizzazione LU e solutori diretti di sistemi lineari;
  • 23 aprile 2018, Aula E10,GS
    Diagonalizzazione di una matrice, diagonalizzazione di matrici normali, fattorizzazione di Shur. Quoziente di Rayleigh e caratterizzazione degli autovalori.
  • 24 aprile 2018, Aula Informatica, GS + MT
    revisione dei codici MATLAB
  • 2 maggio 2018, Aula E10, GS
    Diagonalizzazione di una matrice, diagonalizzazione di matrici normali, fattorizzazione di Shur. Quoziente di Rayleigh e caratterizzazione degli autovalori.
  • 4 maggio 2018, Aula E10, GS
    stima dell'errore per l'algoritmo delle potenze (con dimostrazione); algoritmo delle potenze inverse, inverse con shift, con aggiornamento dello shift;
  • 7 maggio 2018, Aula Informatica, MT+GS
    esercizi MATLAB su metodo potenze e generalizzazioni;
  • 9 maggio 2018, Aula E10, GS
    algoritmo delle potenze simultanee e algoritmo QR;
  • 11 maggio 2018, Aula E10, GS
    equivalenza tra algoritmo delle potenze simultanee e algoritmo QR (con dimostrazione); stima a-posteriori per l'errore sull'autovalore (con dimostrazione); primo teorema di Gershgorin (con dimostrazione);
  • 14 maggio 2018, Aula Informatica, MT+GS
    conclusione sugli esercizi MATLAB riguardanti il metodo potenze; facoltativamente: 1) programmare e testare un criterio di arresto per il metodo delle potenze e 2) studiare numericamente le regioni di convergenza verso i diversi autovalori del metodo delle potenze con shift (senza aggiornamento) e confrontare con il diagramma dei cerchi di Gershgorin, discutendo alcuni esempi significativi;
  • 16 maggio 2018, Aula E10, MT
    Introduzione ai metodi iterativi e confronto con i metodi diretti; matrici sparse;
  • 18 maggio 2018, Aula E10, MT
    Metodi iterativi stazionari: Jacobi e Gauss-Seidel; condizione necessaria e sufficiente per la convergenza: raggio spettrale < 1 (con dimostrazione); condizione sufficiente per la convergenza: matrice a dominanza diagonale (con dimostrazione per Jacobi);
  • 21 maggio 2018, Aula E10, MT+GS
    Introduzione ai metodi di Krylov; metodo dei Gradienti Coniugati (con pseudocodice).
  • 23 maggio 2018, Aula E10 MT+GS
    Gradienti Conigati; ortogonalitÓ dei residui e A-ortogonalintÓ delle direzioni di ricerca (con dimostrazione);
  • 25 maggio 2018, Aula E10 MT+GS
    Stima della convergenza di per CG: minimizzazione dell'errore in norma A (con dimostrazione) e stima min-max polinomiale (con dimostrazione) e conseguenze; cenni sui precondizionatori;
  • 28 maggio 2018, Aula Informatica, MT+GS
    esercizi sui solutori iterativi per sistemi lineari;
  • 30 maggio 2018, Aula Informatica, MT+GS
    esercizi sui solutori iterativi per sistemi lineari;
  • 1 giugno 2018, Aula Informatica, MT+GS
    esercizi sui solutori iterativi per sistemi lineari;
  • 4 giugno 2018, Aula E10, MT+GS
    esercizi su tutto il programma svolto;
  • 6 giugno 2018, Aula E10, MT+GS
    esercizi su tutto il programma svolto;

Regole per l'esame

L'esame consiste in una prova scritta della durata di 1h30m, contenente quesiti teorici ed esercizi di calcolo, in una prova di programmazione in MATLAB/OCTAVE della durata di 1h30m (al computer, in aula informatica), ed in una breve prova orale. Lo studente dovra` inoltre preparare una breve relazione riguardante una delle esercitazioni svolte in aula informatica, a scelta (da inviare per posta elettronica entro il giorno dell'appello scritto, oppure da consegnare al termine dello scritto in formato elettronico o cartaceo).

Esempi di scritti d'esame

Alcuni link o appunti

Codice ed esempi MATLAB

  • immagine pavia.png per approssimazione low rank

Riferimenti bibliografici

  • appunti delle lezioni;
  • Alfio Quarteroni, Riccardo Sacco, Fausto Saleri, Paola Gervasio, Matematica Numerica, Springer;
  • Lloyd N. Trefethen, David Bau III, Numerical Linear Algebra, SIAM.

Last modification: Giugno 2018 back to home Valid HTML 4.01!