Registro lezioni Anno Accademico 2015/2016 (Valido anche come programma del corso)
- 29 Febbraio : Introduzione del corso. Richiami su serie numeriche. Richiami su serie di Taylor. Introduzione alle serie di potenze. Raggio di convergenza
- 1 Marzo: Serie di potenze. Insieme di convergenza. Convergenza totale. Proprieta della somma. Serie di Potenze e serie di Taylor.
- 2 Marzo: Osservazioni sulle serie di potenze. Elementi di topologia di R^N. Punti interni/esterni/di frontiera. Insiemi aperti e chiusi.
- 3 Marzo: Funzioni vettoriali di più variabili reali: dominio, grafico, immagine. Curve di livello, sezioni. Definizione di limite. Continuità in un punto.
- 7 Marzo: Interno, frontiera e chiusura di un insieme. Insiemi limitati. Teorema di Weierstrass. Derivabilità parziale per funzioni vettoriali di più variabili reali. Interpretazione geometrica delle derivate
parziali per funzioni reali di più variabili.
- 8 Marzo: Esercitazione su serie di potenze e limiti (Svolta dalla Dr.ssa M. Zanella)..
- 9 Marzo: Calcolo di derivate parziali. Derivata direzionale. Legami tra derivate direzionali/parziali e continuità. Differenziabilità per funzioni reali di più variabili. Iperpiano tangente al grafico
- 10 Marzo: Proprietà delle funzioni differenziabili. Condizione sufficiente per la differenziabilità. Formula del gradiente e direzioni di massima crescita. Differenziabilità delle funzioni composte
- 14 Marzo: Differenziabiltà di funzioni vettoriali di più variabili. Matrice Jacobiana. Operatori differenziali del primo ordine: gradiente, divergenza e rotore.
- 15 Marzo: Test di autoverifica, correzione del test. Alcune di regole di calcolo. Differenziabiltà della funzione composta: caso generale
- 16 Marzo: Derivate seconde; Matrice Hessiana, Teorema di Schwarz. Laplaciano, rotore di un campo gradiente. formula di Taylor in più variabili con resto in forma di Lagrange
- 17 Marzo: Formula di Taylor con resto in forma di Peano. Punti di massimo/minimo. Punti stazionari. Teorema di Fermat. Forme quadratiche
- 21 Marzo: Esercitazione su calcolo differenziale (Svolta dalla Dr.ssa M. Zanella).
- 22 Marzo: Segno di Forme quadratiche, Criterio dell'hessiano
- 23 Marzo: Esempi ed esercizi su ricerca di punti stazionari e loro caratterizzazione. Baricentro di un insieme di punti. Metodo dei minimi quadrati.
- 30 Marzo: Conclusione dei minimi quadrati. Integrali doppi: integrabilità sui rettangoli
- 31 Marzo: Integrali doppi. Integrabilità delle funzioni continue sui rettangoli, Teorema di riduzione sui rettangoli. Esempi. Integrabilità
su sottoinsiemi. Insiemi semplici ed insiemi regolari. Esempi
- 4 Aprile: Integrabilità di funzioni continue su insiemi regolari. Insiemi misurabili. Insiemi di misura nulla. Integrabilita' di funzioni continue a meno di un insieme di misura nulla di punti di discontinuita'. Formule di riduzione su insiemi semplici. Esempi.
- 5 Aprile: Esempi di calcolo di integrali doppi. Teorema di cambiamento di variabile negli integrali doppi.
- 6 Aprile: Calcolo di integrali doppi. Uso del cambiamento di variabile. Coordinate polari ed ellittiche.
Integrali tripli. Integrazione per fili e per strati
- 7 Aprile: Esempi di calcolo di integrali tripli. Baricentro, Massa, Volume, Quantità di carica.
- 11 Aprile: Esercitazione su massimi/minimi ed integrali multipli (Svolta dalla Dr.ssa M. Zanella).
- 12 Aprile: Teorema di Pappo-Guldino, Insiemi di misura nulla in R^3. Curve. sostegno, derivata di una curva.
- 13 Aprile: Curve chiuse, curve semplici. derivata di una curva, curve regolari. Cambio di parametrizzazione
- 14 Aprile: Curve rettificabili. Rettificabilità delle curve C^1. Calcolo della lunghezza di una curva
- 18 Aprile: Esercizi su integrali (Svolta dalla Dr.ssa M. Zanella).
- 19 Aprile: Integrali curvilinei di prima specie ed applicazioni (massa, baricentro, momento d'inerzia).
Campi vettoriali
- 20 Aprile: Campi vettoriali conservativi e campi irrotazionali. Integrali curvilinei di seconda specie, circuitazione lavoro.
Il lavoro di un campo conservativo (Lemma 6.1). I campi conservativi sono irrotazionali (Proposizione 6.2)
- 21 Aprile: Caratterizzazione dei campi conservativi. Insiemi semplicemente connessi, esempi. Lemma di Poincare. Esempi. Il campo
gravitazionale. Energia potenziale. Introduzione alle superfici.
- 26 Aprile: Superfici: definizione. Piano tangente e vettore normale. Area di una superficie. Esempi
- 27 Aprile: Lunghezza di curve su superfici. Integrali su superfici. Esempi ed esercizi. Massa, Baricentro, momento d'inerzia. Flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie.
- 28 Aprile: Teorema della divergenza. Flusso. Interpretazione della divergenza.
- 2 Maggio: Esercizi su integrali su superfici. Teorema della divergenza (Svolta dalla Dr.ssa M. Zanella).
- 3 Maggio: Orientazione del bordo di una superficie orientabile. Teorema del rotore. Esempi.
- 4 Maggio: Esercitazione di riepilogo.
- 5 Maggio: Esercitazione di riepilogo.
Enunciati con dimostrazione: Teorema 7.4 (Raggio di Convergenza); Proposizione 3.2, Teorema 3.9 (Formula del Gradiente); Teorema 3.15 (Formula di Taylor con resto di Lagrange); Teorema 3.16 (Formula di Taylor con resto in forma di Peano);
Teorema 3.18 (Segno delle forme quadratiche in due variabili); Teorema 3.22 (Criterio dell'Hessiano). Lemma 6.1; Proposizione 6.2.
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