Geometria a.a. 2013-14 (Ing. edile-architettura)

Modalita' di esame

L'esame prevede una prova scritta ed una orale, da svolgersi nei giorni immediatamente successivi allo scritto (n.b. non ci sono "livelli" predefiniti per l'orale).


A partire dall'Anno Accademico 2013-14, saranno in vigore le seguenti regole per la prova scritta d'esame.

Agli studenti verranno consegnati due fogli prestampati.

Tutti i risultati andranno riportati sui fogli prestampati.

Verranno ritirati solo i fogli prestampati.

Il primo foglio contiene 8 domande di comprensione di definizione di argomenti base.

In questa prima parte i calcoli richiesti saranno molto ridotti, mentre sarà necessario padroneggiare tutte le definizioni base.

La seconda parte contiene 4 esercizi.

La prova scritta ha durata complessiva di 2 ore e trenta minuti.

Il primo foglio viene ritirato dopo 45 minuti, mentre il secondo foglio dopo 2 ore e mezzo dall'inizio della prova.

La prima parte vale 8 punti, la seconda 30.

Per superare lo scritto sarà necessario ottenere almeno 4 punti sulla prima parte, e almeno 18 punti complessivamente.

I quattro esercizi della seconda parte saranno strutturati sul modello degli esercizi 1-5 dei vecchi compiti d'esame per vari corsi di Ingegneria, disponibili qui.

Qui è possibile scaricare alcuni esempi delle domande della prima parte.

Registro delle lezioni

Lun. 30/09/2013 10-11: Introduzione agli spazi vettoriali tramite esempi: R^n.

Mar. 01/10/2013 9-11: Introduzione agli spazi vettoriali tramite esempi: R[x], C^0(R), E^3_O.

Mer. 02/10/2013 9-11: Sistemi di riferimento Cartesiani e coordinate in E^3_O: identificazione con R^3. Definizione di spazio vettoriale.

Gio. 03/10/2013 11-13: Definizione di sottospazio vettoriale. Esempi (e controesempi) di sottospazi vettoriali in R^n, R[x], E^3_O. Classificazione dei sottospazi di E^3_O.

Mar. 08/10/2013 9-11: Equazioni parametriche di sottospazi vettoriali di E^3_O.

Mer. 09/10/2013 9-11: Equazioni parametriche di sottospazi vettoriali di E^3_O (esercizi).

Gio. 10/10/2013 11-13: Equazioni parametriche di sottospazi affini di E^3_O, con esercizi. Sottospazio generato da un insieme di vettori in uno spazio vettoriale.

Lun. 14/10/2013 12-13: Esercizi: verificare se un vettore appartiene allo spazio generato da un insieme di vettori.

Mar. 15/10/2013 09-11: Spazi vettoriali finitamente generati e sistemi di generatori (definizioni, esempi fondamentali). R[x] non e' finitamente generato.

Mer. 16/10/2013 09-11: Dipendenza e indipendenza lineare. Un insieme di vettori e' indipendente se e solo se l'unica combinazione lineare con valore O_V e' banale (con dimo.)

Gio. 17/10/2013 11-13: Criterio "della scaletta" (con dimo.) Algoritmo di estrazione. Definizione di base.

Lun. 21/10/2013 12-13: Coordinate di un vettore rispetto a una base. Esempi.

Mar. 22/10/2013 09-11: Esercizi su basi e coordinate. Teorema della base (con dimo.). Dimensione (definizione).

Mer. 23/10/2013 09-11: Basi e sottospazi. Forme parametrica e Cartesiana. Base della somma di sottospazi. Formula di Grassmann (con dimo.)

Gio. 24/10/2013 11-13: Basi e sottospazi. Base dello spazio intersezione: usando le equazioni Cartesiane oppure usando il metodo basato sull'algoritmo di estrazione.

Lun. 28/10/2013 12-13: Sottospazi in somma diretta: definizione e caratterizzazione.

Mar. 29/10/2013 9-11: Complementare di un sottospazio: definizione, esercizi. Introduzione allo spazio delle matrici reali M(k, n).

Mer. 30/10/2013 9-11: M(k, n) e' uno spazio vettoriale di dimensione kn (con dimo.) Esercizi (sui sottospazi di M(2)).

Gio. 31/10/2013 11-13: Ancora esercizi su sottospazi di M(2) (simmetriche, antisimmetriche). Moltiplicazione matrice-vettore (inizio).

Mar. 05/11/2013 9-11: Moltiplicazione matrice-vettore (fine). Moltiplicazione tra matrici.

Mer. 06/11/2013 9-11: Esempi e proprieta' della moltiplicazione tra matrici (con dimo.).

Gio. 07/11/2013 9-11: Inversione di matrici.

Lun. 11/11/2013 12-13: Proprieta' dell'inversione. Esercizi.

Mar. 12/11/2013 9-11: Ulteriori proprieta' dell'inversione. Trasposizione. Gli spazi delle matrici simmetriche e antisimmetriche: basi, dimensione.

Mer. 13/11/2013 9-11: Determinante: definizione, discussione ed esempi. Teorema di Laplace.

Gio. 14/11/2013 9-11: Proprieta' fondamentali del determinante (con dim.).

Lun. 18/11/2013 12-13: Semplificazioni nel calcolo del determinante. Teorema di Binet. Determinante e invertibilita'.

Mar. 19/11/2013 9-11: Formula di Cramer (con dimo. per matrici di ordine 2 o 3). Rango di una matrice: definizione, semplificazioni nel calcolo.

Mer. 20/11/2013 9-11: Rango e minori. Teorema di Kronecker - metodo degli orlati. Discussione del rango per matrici dipendenti da un parametro.

Gio. 21/11/2013 11-13: Generalita' sui sistemi lineari. Teorema di Rouche'-Capelli (con dim.)

Lun. 25/11/2013 12-13: Il rango e' invariante per trasposizione (con dim.). Applicazione al numero di equazioni indipendenti in un sistema.

Mar. 26/11/2013 9-11: Teorema di struttura per sistemi omogenei (con dim.).

Mer. 27/11/2013 9-11: Esercizi su sistemi omogenei. Sottospazi affini e spazio delle soluzioni di un sistema non-omogeneo.

Gio. 28/11/2013 9-11: Esercizi su sistemi lineari. Applicazioni lineari: generalita'; esempi. Applicazione lineare associata ad una matrice, operatore di derivazione.

Lun. 2/12/2013 12-13: Nucleo e immagine di una applicazione lineare. Richiami su funzioni iniettive e suriettive.

Mar. 3/12/2013 9-11: Caratterizzazione delle applicazioni lineari iniettive. Applicazioni lineari e indipendenza lineare. Teorema delle dimensioni (con dim.).

Mer. 4/12/2013 9-11: Esercizi su applicazioni lineari.

Gio. 5/12/2013 9-11: Matrici associate allo stesso operatore rispetto a basi diverse. Matrici simili.

Mar. 10/12/2013 9-11: Esercizi su matrici simili. Invarianti per similitudine: rango, determinante, traccia (con dimo.).

Gio. 12/12/2013 9-11: Autovalori e autovettori di un operatore. Definizione, esempi. Autospazio associato ad un autovalore. Molteplicita' geometrica di un autovalore.

Lun. 16/12/2013 12-13: Polinomio caratteristico. Definizione, esempi di calcolo, invarianza per similitudine (con dimo.).

Mar. 17/12/2013 9-11: Molteplicita' algebrica di un autovalore. La molteplicita' geometrica e' minore o uguale a quella algebrica (con dimo.). Gli autospazi di una matrice sono in somma diretta. Criterio di diagonalizzazione tramite le molteplicita' geometriche.

Mer. 18/12/2013 9-11: Criterio di diagonalizzazione tramite le molteplicita' algebriche. Esercizi su autospazi e diagonalizzazione. Generalita' sul prodotto scalare standard. Insiemi di vettori ortogonali e ortonormali.

Gio. 19/12/2013 11-13: Coefficienti di Fourier. Metodo di Gram-Schimdt. Complemento ortogonale e sue equazioni. Proiezioni ortogonali. Matrici ortogonali con esempi. Teorema spettrale (dimo: solo condizione necessaria).

Mar. 07/01/2014 9-11: Forme quadratiche: definizione, esempi. Segno di una forma quadratica. Diagonalizzazione di forme quadratiche.




Tutorati svolti

Lun. 07/10/2013 10-12.

Lun. 14/10/2013 10-12.

Lun. 21/10/2013 10-12.

Lun. 04/11/2013 10-11.

Lun. 11/11/2013 10-12.

Lun. 18/11/2013 10-12.

Lun. 25/11/2013 10-12.

Lun. 2/12/2013 10-12.

Lun. 16/12/2013 10-12.