Geometria Superiore a.a. 2012-13

con F. Bonsante

La parte del corso tenuta da me sara' dedicata a una introduzione alla geometria Kaehleriana. Testi di riferimento sono le note online di G. Szekelyhidi "Introduction to extremal metrics" e la monografia di G. Tian "Canonical metrics in Kaehler geometry", Birkhauser.

Registro delle lezioni

Gio. 06/03/2014 16-18. Varieta' complesse. Esempi. Strutture quasi complesse, integrabilita'. Metriche Hermitiane. La condizione di Kaehler. Decomposizione del differenziale esterno. Metrica di Fubini-Study.

Gio. 13/03/2014 16-18. Espressioni locali di campi vettoriali e forme complesse. Espressioni locali di metriche e forme di Kaehler. Parallelismo di J. Simboli di Christoffel di una metrica di Kaehler. Tensore di curvatura (inizio).

Ven. 21/03/2014 09-11. Tensore di curvatura di una metrica di Kaehler. Coordinate normali olomorfe. Curvatura e forma di Ricci. Prima classe di Chern. Introduzione ai teoremi di Aubin-Yau e Yau. Primi cenni al caso di curvatura positiva.

Gio. 27/03/2014 16-18. La prima classe di Chern di ipersuperfici. Esempi di metriche di Kaehler-Einstein con curvatura nulla o negativa. Il Laplaciano di una metrica di Kaehler (inizio).

Mar. 01/04/2014 16-18. Calcolo del tensore di curvatura per CP^{n}. Discussione del Laplaciano di una metrica di Kaehler. Richiami su operatori ellittici: soluzioni deboli, regolarita', stime di Schauder. Risolubilita' dell'equazione di Poisson su una varieta' di Kaehler. Spazi di Holder globali.

Mar. 08/04/2014 16-18. Proprieta' globali di operatori ellittici su una varieta' di Kaehler compatta. ddbar-Lemma. Teorema di Aubin-Yau: riduzione a una equazione di Monge-Ampere complessa.

Gio. 24/04/2014 16-18. Teorema di Aubin-Yau: unicita', metodo di continuita'. Dimostrazione del teorema assumendo le stime di Yau. Stime di Yau: stima C^0 e disuguaglianza differenziale per le tracce.

Mar. 29/04/2014 16-18. Teorema di Aubin-Yau: stima C^2.

Gio. 08/05/2014 16-18. Teorema di Aubin-Yau: stima C^3 e conclusione. Teorema di Calabi-Yau: unicita', riduzione a Monge-Ampere, metodo di continuita'.

Gio. 15/05/2014 16-18. Teorema di Calabi-Yau: riduzione a stima C^0 (cenni) e dimostrazione della stima C^0. Metriche KE con curvatura positiva: inizio della discussione. Metriche di Kaehler con curvatura scalare costante e relazione con metriche KE.

Gio. 27/05/2014 16-18. Variazione della curvatura scalare, operatore di Lichnerowitz, Teorema di Futaki.

Mer. 04/06/2014 14-16. Ulteriori risultati sull'invariante di Futaki. Formula di localizzazione nel caso di superfici di Del Pezzo. Calcolo dell'invariante per P^2 scoppiato in un punto e non-esistenza di una metrica di Kaehler-Einstein.