Geometria Superiore a.a. 2015-16

Il corso si propone di fornire una introduzione alla geometria delle varieta' complesse, con particolare attenzione ad alcuni aspetti geometrico-differenziali.

Testi di riferimento:

  • [Huy] Daniel Huybrechts: Complex Geometry, an Introduction, Springer Universitext, 2005.

  • [Sz] Gabor Szekelyhidi: An Introduction to Extremal Kaehler Metrics, Graduate Studies in Mathematics vol. 152, American Mathematical Society, 2014.

    Principali argomenti affrontati a lezione:

    Varieta' complesse. Esempi. Strutture quasi complesse. Aspetti algebrici. Integrabilita'. Metriche Hermitiane. La condizione di Kaehler. Decomposizione del differenziale esterno. Metrica di Fubini-Study. Espressioni locali di campi vettoriali e forme complesse. Espressioni locali di metriche e forme di Kaehler. Parallelismo di J. Simboli di Christoffel di una metrica di Kaehler. Tensore di curvatura di una metrica di Kaehler. Coordinate normali olomorfe (senza dim.). Curvatura e forma di Ricci. Prima classe di Chern. Introduzione ai teoremi di Aubin-Yau e Yau. Cenni al caso di curvatura positiva. La prima classe di Chern di ipersuperfici. Esempi di metriche di Kaehler-Einstein con curvatura nulla o negativa. Calcolo del tensore di curvatura per CP^{n}. Discussione del Laplaciano di una metrica di Kaehler. Richiami su operatori ellittici: soluzioni deboli, regolarita', stime di Schauder. Risolubilita' dell'equazione di Poisson su una varieta' di Kaehler. Spazi di Holder globali. Proprieta' globali di operatori ellittici su una varieta' di Kaehler compatta. Decomposizione di Hodge Riemanniana (senza dim.). ddbar-Lemma. Teorema di Aubin-Yau: riduzione a una equazione di Monge-Ampere complessa. Teorema di Aubin-Yau: unicita', metodo di continuita'. Dimostrazione del teorema assumendo le stime di Yau. Stime di Yau: stima C^0 e disuguaglianza differenziale per le tracce. Teorema di Aubin-Yau: stima C^2. Teorema di Calabi-Yau: unicita', riduzione a Monge-Ampere, metodo di continuita'. Teorema di Calabi-Yau: riduzione a stima C^0 (cenni) e dimostrazione della stima C^0. L'operatore di Lefschetz e il suo aggiunto formale. Aspetti algebrici: la rappresentazione naturale di sl(2), altri commutatori, decomposizione di Lefschetz. Identita' di Kaehler. Prime conseguenze delle identita' di Kaehler. Decomposizione di Hodge Kaehleriana (senza dim.). Hard Lefschetz Theorem (senza dim.).

    Argomenti per i seminari finali

  • Stime di Yau di ordine superiore. [Sz] sezione 3.3.

  • Primi risultati generali sulle metriche estremali. [Sz] pp. 57 - 59 e sezione 4.2.

  • Discussione piu' dettagliata della decomposizione di Hodge Riemanniana oppure Kaehleriana, secondo l'esposizione rispettivamente di Jost (Riemannian Geometry) o Griffiths-Harris (Principles).

  • Discussione alternativa delle identita' di Kaehler secondo l'esposizione di Griffiths-Harris (Principles).

  • Scelta di risultati salienti sulle connessioni e la curvatura per fibrati vettoriali complessi generali. [Huy] sezioni 4.1, 4.2, 4.3 e 4.B.

  • Primi risultati sulla teoria della deformazione delle strutture complesse. [Huy] sezione 6.1.

  • La condizione di hyperkaehler. Metriche di Gibbons-Hawking. Riferimenti: Hitchin sez. 1, Gross e Wilson pp. 486 - 489.