Piano Lauree Scientifiche
Dipartimento di Matematica - Università degli studi di Pavia
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Nei dintorni della geometria euclidea:
la geometria della sfera
 
Fasi e metodologia
Partecipanti
Obiettivi e contenuti
Approfondimento 1:
tassellazioni
Approfondimento 2:
distendere una superficie
Stage
Materiali
 
Approfondimento 2: <Br> distendere una superficie > in depth
 

DISTENDERE UNA SUPERFICIE CURVA


Traccia teorica.

L'approfondimento prende lo spunto dal problema della “mappatura” piana di una superficie sferica, cioè dal problema di riportare su un piano le figure della geometria sferica in modo da mantenere la maggior quantità di proprietà geometriche significative. Dal punto di vista matematico ciò consente di accennare ad alcune delle applicazioni classiche fra superficie dello spazio ordinario: proiezioni prospettiche (stereografica, ortografica e centrale) e di sviluppo (proiezioni coniche e cilindriche). Queste ultime permettono di accennare al concetto di curvatura di una superficie; infatti la constatazione che, accanto alla geometria euclidea del piano (curvatura nulla) vi è la geometria “ellittica” della sfera (curvatura costante positiva) apre in modo naturale la domanda sul modello di geometria che “vive” su una superficie a curvatura costante negativa (localmente un modello è dato dalla pseudosfera).
L'approfondimento qui di seguito descritto, svolto durante un incontro della durata di due ore, si limita alla considerazione di alcune proprietà significative delle proiezioni stereografica e centrale. Il ruolo della curvatura nelle proprietà geometriche di una superficie è stato invece toccato nell'attività di Stage.

Attività proposta.

Il punto di partenza è l'indagine di come può variare l'immagine di una retta e di una circonferenza (figure base della geometria) tramite proiezione della sfera su un piano a partire da un punto fissato. Per restringere ragionevolmente il campo di ricerca le prime due schede richiedevano di prendere in considerazione il caso in cui il punto di proiezione varia lungo l'asse che unisce due punti antipodali, che chiameremo Polo Nord e Polo Sud, e il piano su cui si proietta è tangente alla sfera in uno dei poli, diciamo il Polo Sud. Ciascuno dei gruppi di studenti poteva avvalersi di una sfera costruita mediante unione di due emisferi (dello stesso materiale dei trasparenti per lavagne luminose) in dotazione alle sfere di Lenart. Nella sfera abbiamo praticato un foro tramite il quale è possibile inserire un punto luminoso: detto N (Polo Nord) il punto della superficie sferica in corrispondenza del foro e detto S (Polo Sud) il punto antipodale, appoggiando la sfera su un tavolo in modo che S sia il punto di contatto, la proiezione, sul piano del tavolo, di una qualsivoglia figura sulla sfera a partire da un punto P dell'asse N-S si visualizza mediante l'ombra prodotta sul piano dalla figura stessa una volta che la sorgente luminosa puntiforme sia posta in P. Facendo scorrere la sorgente luminosa fra S e N e guardando all'immagine di una circonferenza massima, risalta la situazione in cui il punto P coincide con il centro della sfera e l'ombra è rettilinea.



 

La sorgente luminosa (opportunamente schermata per la fotografia) è nel centro della sfera
e proietta rette sferiche (circonferenze massime) in rette del piano.
In particolare l'immagine di un triangolo sferico è un triangolo del piano.

Meno manifesta, e per tale motivo più guidata nella scheda proposta, è l'osservazione della particolarità della situazione in cui la sorgente è posta al Polo Nord e proietta una circonferenza in una circonferenza: l'indagine concreta porta a sostenere la congettura con un buon grado di evidenza.




 

La sorgente luminosa (opportunamente schermata) è al Polo Nord della sfera
e proietta circonferenze sferiche in circonferenze del piano.

Dopo aver condotto gli studenti (Scheda 3) alla facile dimostrazione del primo dei due risultati ora indicati (una retta sferica si trasforma in una retta piana mediante proiezione centrografica), il resto dell'attività è dedicato a una dimostrazione sintetica del secondo (una circonferenza si trasforma in una circonferenza mediante proiezione stereografica).
È utile premettere alcune osservazioni riguardo i coni e le loro sezioni piane. Infatti i raggi luminosi che, uscendo dalla nostra lampada posta al polo, proiettano la circonferenza della sfera sul piano, formano la superficie di un cono quadrico (in generale obliquo), di cui la circonferenza tracciata sulla sfera e la sua proiezione sul piano sono due sezioni: dobbiamo dimostrare che anche la sezione corrispondente al piano di proiezione è una circonferenza. Punto di partenza è stata la proposta di una semplice attività che potesse far cogliere visivamente una proprietà fondamentale per la discussione successiva:

(P) se un piano genera una sezione circolare tale è anche il piano ad esso simmetrico rispetto all'asse, e quindi ogni piano parallelo a quest'ultimo (l'asse è la retta che biseca ogni sezione del cono con un piano per due generatrici ed è pertanto asse di simmetria per il cono).

A tal fine abbiamo tracciato su un foglio (disteso su un tavolo) l'ombra proiettata da una circonferenza (realizzata con un sottile anello con manico) a partire da una sorgente luminosa puntiforme fissa. Notiamo che il cono è in generale un cono obliquo: le sezione con piani ortogonali all'asse sono ellissi; per facilitare l'indagine successiva abbiamo fatto in modo che tali ellissi fossero orizzontali, e quindi l'asse verticale, disponendo la posizione relativa fra anello e punto luminoso in modo che quest'ultimo si trovi sulla verticale per il centro dell'ellisse che costituisce l'ombra proiettata: non è difficile vedere che ciò conferisce a questa retta la proprietà caratteristica dell'asse.  (In pratica abbiamo tracciato un'ellisse su un foglio e disposto la sorgente luminosa sulla verticale per il centro, collimando poi l'anello circolare in modo che l'ombra proiettata coincidesse con l'ellisse già disegnata). In queste condizioni è risultato abbastanza facile per gli studenti, anche se non scontato, individuare “sperimentalmente” la posizione alternativa dell'anello che dà luogo alla medesima ombra e quindi costituisce una seconda sezione circolare dello stesso cono. Più difficile è stato riconoscere che le due sezioni corrispondevano a piani simmetrici (a meno di una traslazione) rispetto all'asse.



                

La sorgente luninosa (schermata con un cartoncino per consentire la fotografia) è sulla verticale per il centro dell'ellisse.
Vi sono due posizioni dell'anello (su piani simmetrici rispetto all'asse del cono proiettante)
che proiettano come ombra la stessa ellisse,
quindi sono sezioni (circolari) dello stesso cono di vertice la sorgente luminosa.

 

Una volta acquisita la validità della proprietà (P) di cui sopra, ritorniamo alla dimostrazione che la proiezione stereografica trasforma circonferenze in circonferenze; l'obiettivo è ora cercare di dimostrare che i piani contenenti la circonferenza proiettante, chiamiamola C, e quella proiettata sono, a meno di una traslazione, simmetrici rispetto all'asse del cono. Guardando alla sezione del cono con il piano verticale π passante per l'asse e perpendicolare al piano per C, si tratta di mostrare l'uguaglianza degli angoli con cui l'asse taglia la traccia su π del piano contente C e del piano π' su cui proiettiamo (piano orizzontale).


Gli angoli in N dei triangoli giallo e blu sono congruenti poiché a è l'asse del cono. Come angoli alla circonferenza che insisitono sullo stesso arco sono congruenti l'angolo in B e l'angolo fra la retta AN e la tangente in N alla circonferenza; infine, quest'ultimo è congruente all'angolo in C in quanto angoli alterni interni. Ne segue che i triangoli giallo e blu devono avere congruente anche il terzo angolo (evidenziato in figura) che è quello che si voleva dimostrare.  
 


Le schede utilizzate si trovano nella sezione Materiali.


Approfondimento 2: <Br> distendere una superficie > in depth

 

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