CORSO DI ALGEBRA 2

Anno Accademico 2014-2015
 
Registro delle lezioni

Martedi'  3/3/2015 14-16
Teorema di Cauchy per gruppi abeliani. Teorema di Sylow per gruppi abeliani. Automorfismi di gruppi, automorfirmi interni. Esempi. Azioni di gruppi su insiemi. Esempi di azioni. Le azioni di un gruppo su se stesso per moltiplicazione a sinistra e per coniugio. Azioni fedeli.


Mercoledi'  4/3/2015 14-16
Azioni di gruppi su insiemi. Stabilizzatore di un elemento e orbita di un elemento. Azione di un gruppo sulle classi laterali di un gruppo per un sottogruppo. Formula delle classi. Il caso dell'azione di coniugio di un gruppo su se stesso. Centro, centralizzante, formula delle classi in questo caso. Se un gruppo ha ordine una potenza di un primo, il suo centro e' non banale. Un gruppo di ordine il quadrato di un primo e' abeliano. Teorema di Cayley. Teorema di Cauchy e primo teorema di Sylow.

Venerdi'  6/3/2015 9-11
In un gruppo finito G due p-Sylow sono coniugati. Il numero dei p-Sylow divide l'ordine di G ed e' della forma 1+kp. Esercizi: classificazione dei gruppi di ordine 6 e 21. Esercizi sui gruppi finiti.

Martedi'  10/3/2015 14-16
Classificazione dei gruppi di ordine 8. Prodotto semidiretto di due gruppi. Esempi.

Martedi'  17/3/2015 14-16
Esercizi su prodotti semidiretti. Proprieta' del gruppo alterno A_n. A_n e' semplice per n almeno 5. A_4 non e' semplice. Gruppi risolubili. Esempi.

Mercoledi'  18/3/2015 14-16
Classificazione dei gruppi di ordine 12. Un gruppo risolubile e' semplice se e solo se e' ciclico di ordine primo. Un sottogruppo di un guppo risolubile e' risolubile. Se n e' almeno 5, A_n e S_n non sono risolubili. Caratterizzazione della risolubilita' usando la serie derivata. Se G e' un gruppo e N un sottogruppo normale di G, allora G e' risolubile se e solo se N e G/N sono risolubili.

Venerdi'   20/3/2015 9-11
Un gruppo finito di ordine p^n con p primo e' risolubile. Ogni gruppo abeliano finito e' prodotto diretto dei suoi p-Sylow. Ogni gruppo abeliano finito e' prodotto diretto di gruppi ciclici. Esercizi.

Martedi'   24/3/2015 14-16
Risultati di unicita' per la decomposizone di un p-gruppo abeliano finito come prodotto diretto di gruppi ciclici. Risultati di unicita' per la decomposizone di un abeliano finito come prodotto diretto di gruppi ciclici. Esempi ed esercizi sui gruppi finiti. Gruppi di ordine pq^2 con p,q primi distinti.

Venerdi'   27/3/2015 9-11
Esercizi sui gruppi finiti. Ogni gruppo di ordine non primo e minore di 60 non e' semplice.

Martedi'   31/3/2015 14-16
Esercizi sui gruppi finiti. Campi: campo primo, caratteristica di un campo. Omomorfismo di Frobenius.

Mercoledi'   1/4/2015 14-16
Estensioni di campi. Esempi. Estensioni semplici. Isomorfismi di estensioni. Grado di un'estensione. Esempi. Legge della torre. Elementi algebrici ed estensioni semplici. Ogni estensione finita e' algebrica. Data un'estensione L:K, l'insieme degli elementi di L algebrici su K e' un sottocampo di L che contiene K. Numeri algebrici e trascendenti. Se L:K e' algebrica e K:F e' algebrica allora L: F e' algebrica.

Mercoledi'   8/4/2015 14-16
Polinomio minimo di un elemento algebrico su un campo K. Dato un polinomio monico irriducibile f a coefficienti in un campo K, esiste un'estensione semplice K(a): K tale che f sia il polinomio minimo di a su K. Campo di spezzamento di un polinomio. Esempi. Esistenza e unicita' a meno di isomorfismi del campo di spezzamento.

Venerdi'   10/4/2015 9-11
Campi di spezzamento di polinomi. Esempi ed esercizi su polinomio minimo e su campi di spezzamento. Definizione di estensione normale. Un'estensione e' finita e normale se e solo se e' il campo di spezzamento di un polinomio. Esempi di estensioni normali e non normali.

Martedi'   14/4/2015 14-16
Esercizi su estensioni normali. Polinomi irriducibili separabili. Un polinomio f a coefficienti in un campo ha uno zero multiplo in un campo di spezzamento se e solo se f e la sua derivata hanno un fattore comune di grado almeno 1. Su un campo a caratteristica 0 ogni polinomio irriducibile e' separabile. Polinomi inseparabli in caratteristica p. Estensioni algebriche separabili. Se L:K e' separabile e M e' un campo intermedio allora M:K e L:M sono separabili. Gruppo di Galois di un'estensione. Campi fissi. Corrispondenza di Galois.

Venerdi'   17/4/2015 9-11
Corrispondenza di Galois. Esempi. Indipendenza lineare di omomorfismi iniettivi da K in L, con K e L campi. Sia G un sottogruppo finito del gruppo degli automorfismi di un campo L, sia K il campo fisso di G, allora [L:K] = |G|.

Martedi'   21/4/2015 14-16
K-monomorfismi da M in L con M, L due estensioni di K campo. Esempi. Se L:K e' un'estensione finita e normale e M e' un campo intermedio, allora ogni K-monomorfismo da M in L si estende ad un elemento del gruppo di Galois di L su K. Chiusura normale di un'estensione algebrica. Esempi. Data L:K un'estensione finita, esiste una chiusura normale N di L su K che e' un'estensione finita di K. Inoltre e' unica a meno di isomorfismi. L:K finita, allora L:K e' normale se e solo se per ogni estensione M di K che contiene L, ogni K-monomorfismo da L in M e' un K-automorfismo di L. Se L:K e' finita e separabile di grado n allora ci sono esattamente n K-monomorfismi distinti di L in una chiusura normale di L:K.

Mercoledi'   22/4/2015 14-16
Se L:K e' finita normale e separabile, allora [L:K] = |G(L,K)|, inoltre K e' il campo fisso di G(L,K). M:K finita e L campo intermedio con [L:K]=n, allora ci sono al piu' n K-monomorfismi da L in M. Se L:K non e' separabile il numero dei K-monomorfismi distinti da L in M e' strettamente minore di n. Se L:K e' finita e K e' il campo fisso di G(L,K) allora L:K e' normale e separabile. Teorema fondamentale della teoria di Galois.

Venerdi'   24/4/2015 9-11
Teorema fondamentale della teoria di Galois. Esempi ed esercizi sulla corrispondenza di Galois.

Martedi'   28/4/2015 14-16
Esercizi sui gruppi di Galois e sulla corrispondenza di Galois.

Mercoledi'   29/4/2015 9-11
Campi di caratteristica p>0. Se car(K) =p>0, il campo fisso dell'omomorfismo di Frobenius e' il campo primo. Se car(K) = p>0 e K e' algebrico sul suo campo primo, l'omomorfismo di Frobenius e' un automorfismo di K, inoltre tutti i polinomi in K[x] sono separabili. Esempio di un'estensione inseparabile. Sia q=p^n con p primo, un campo K ha cardinalita' p^n se e solo se e' un campo di spezzamento di x^q-x sul campo primo. Sia L e' un campo finito e P il suo campo primo, allora L:P e' un'estensione di Galois.

Martedi'   5/5/2015 14-16
Se L:K e' un'estensione e L e' un campo finito allora L:K e' di Galois. Esponente di un gruppo finito. Dato un gruppo abeliano finito, esiste un elemento di ordine pari al'esponente del gruppo. Sia K un campo e K-{0} il gruppo moltiplicativo, ogni sottogruppo finito di K-{0} e' ciclico. Il gruppo moltiplicativo di un campo finito e' ciclico. Esempi. Se L:K e' un'estensione e L e' un campo finito, L:K e' semplice. Sia K un campo con p^n elementi, p primo. Il gruppo degli automorfismi di K e' ciclico di ordine n generato dall'automorfismo di Frobenius. Sia L:K un'estensione con L campo finito, allora G(L,K) e' ciclico di ordine [L:K]. Sia L:K un'estensione finita e L=K(a_1,...,a_r). Se a_i e' separabile su K(a_1,...,a_{i-1}) per ogni i=1,...,r, L:K e' separabile.

Mercoledi'   6/5/2015 14-16
Se L:K e' finita e L=K(a_1,...,a_r). Se a_i e' separabile su K per ogni i, allora L:K e' separabile. Se f e' un polinomio separabile in K[x] e L:K e' un campo di spezzamento per f su K, allora L:K e' separabile. L:K finita, M e' un campo intermedio. Se L:M e M:K sono separabili, allora L:K e' separabile. Sia L:K un'estensione algebrica. L:K e' semplice se e solo se esiste solo un numero finito di campi intermedi. Teorema dell'elemento primitivo: se L:K e' finita e separabile, allora L:K e' semplice.Esempi ed esercizi sui campi.

Martedi'   12/5/2015 14-16
Estensioni radicali. Esempi. Polinomi risolubili per radicali. Se L:K e' un'estensione radicale e M e' una sua chiusura normale, allora M:K e' radicale. Radici dell'unita', polinomi ciclotomici: esempi e proprieta'. Il polinomio ciclotomico PHI_m e' irriducibile sul campo dei numeri razionali.

Venerdi'   15/5/2015 9-11
Gruppo di Galois del polinomio ciclotomico. Sia K un campo di caratteristica zero. Se L:K e' un'estensione normale e radicale, il gruppo di Galois G(L,K) e' risolubile. Se char(K)=0 e M:L:K sono estensioni e M:K e' radicale, allora G(L,K) e' risolubile. Se char(K)=0 e f e' un polinomio a coefficienti in K risolubile per radicali, il suo gruppo di Galois e' risolubile. Se f e' un polinomio a coefficienti razionali, irriducibile e di grado p primo con esattamente due zeri non reali, il gruppo di Galois di f sui razionali e' isomorfo al gruppo delle permutazioni S_p. Esempio di una quintica non risolubile per radicali.

Martedi'   19/5/2015 14-16
Estensioni trascendenti. Elementi algebricamente indipendenti. Grado di trascendenza. Se t_1,...,t_n sono elementi trascendenti algebricamente indipendenti su un campo K, S_n agisce su K(t_1,...,t_n): s(t_i) = t_s(i). Quindi S_n e' un sottogruppo del gruppo di Galois G(K(t_1,...,t_n),K). Il campo fisso di S_n e' K(s_1,...,s_n) dove le s_i sono le funzioni simmetriche elementari in t_1,...,t_n. Le funzioni simetriche elementari s_1,...,s_n sono algebricamente indipendenti su K. Polinomio generale di grado n su K.

Mercoledi'   20/5/2015 14-16
Sia K un campo e s_1,...,s_n elementi trascendenti algebricamente indipendenti su K, il gruppo di Galois del polinomio generale di grano n su K(s_1,...,s_n) e' il gruppo simmetrico S_n. Teorema di Abel: per n maggiore o uguale a 5 l'equazione generale di grado n su K non e' risolubile per radicali. Estensioni finite normali con gruppo di Galois ciclico. Su un campo K di caratteristica 0, se L:K e' finita e normale e G(L,K) e' risolubile, allora esiste un'estensione R di L tale che R:K e' radicale. Su un campo a caratteristica 0 un polinomio e' risolubile per radicali se e solo se il suo gruppo di Galois e' risolubile. Se car(K) = 0 il polinomio generale di grado minore o uguale a 4 e' risolubile per radicali.

Venerdi'   22/5/2015 9-11
Discriminante di un polinomio. Gruppi di Galois e risoluzione di cubiche e di quartiche per radicali.

Martedi'   26/5/2015 14-16
Gruppi di Galois di quartiche irriducibili. Esercizi sulla teoria di Galois.

Venerdi'   29/5/2015 9-11
Esercizi sui campi e sulla teoria di Galois.