CORSO DI ALGEBRA 2

Anno Accademico 2015-2016
 
Registro delle lezioni

Martedi'  1/3/2016 14-16
Teorema di Cauchy per gruppi abeliani. Teorema di Sylow per gruppi abeliani. Automorfismi di gruppi, automorfismi interni. Esempi.

Mercoledi'  2/3/2016 14-16
Azioni di gruppi su insiemi. Stabilizzatore di un elemento e orbita di un elemento. Esempi. Azione di un gruppo sulle classi laterali di un gruppo per un sottogruppo. Formula delle classi. Il caso dell'azione di coniugio di un gruppo su se stesso. Centro, centralizzante, formula delle classi in questo caso. Se un gruppo ha ordine una potenza di un primo, il suo centro e' non banale. Un gruppo di ordine il quadrato di un primo e' abeliano. Teorema di Cayley.

Venerdi'  4/3/2016 9-11
Teorema di Cauchy e primo teorema di Sylow. In un gruppo finito G due p-Sylow sono coniugati. Il numero dei p-Sylow divide l'ordine di G ed e' della forma 1+kp. Esempio: gruppi di ordine 6.

Martedi'  8/3/2016 14-16
Esercizi sui gruppi finiti e sulle azioni di gruppi su insiemi.

Mercoledi'  9/3/2016 14-15
Classificazione delle classi di isomorfismo dei gruppi di ordine 8. Prodotto semidiretto.

Venerdi'  11/3/2016 9-11
Prodotto semidiretto interno ed esterno di gruppi. Esempi ed esercizi sui prodoti semidiretti. Il gruppo dei quaternioni non e' un prodotto semidiretto.

Martedi'  15/3/2016 14-16
Gruppi simmetrici e gruppi alterni. Ogni permutazione pari si scrive come prodotto di tre cicli. Per n>4 tutti i tre cicli sono tra loro coniugati in A_n. Per n >4 A_n e' semplice. A_4 non e' semplice. Classificazione dei gruppi ordine 12 a meno di isomorfismo.

Mercoledi'  16/3/2016 14-15
Gruppi risolubili. Esempi: gruppi abeliani, diedrali, S_4. Un gruppo risolubile e' semplice se e solo se e' ciclico di ordine primo. Un sottogruppo di un gruppo risolubile e' risolubile. S_n non e' risolubile per n>4. Sottogruppo derivato di un gruppo. Caratterizzazione della risolubilta' in termini della serie derivata.

Venerdi'  18/3/2016 9-11
Un'immagine omomorfa di un gruppo risolubile e' risolubile. Se G e' un gruppo e N e' un sottogruppo normale di G risolubile e tale che G/N sia risolubile, alora G e' risolubile. Un gruppo di ordine p^n con p primo e' risolubile. Ogni gruppo abeliano finito e' prodotto diretto dei suoi p-Sylow. Esercizi: ogni gruppo di ordine <60 e' risolubile.

Martedi'  22/3/2016 14-16
Teorema di classificazione dei gruppi abeliani finiti (solo enunciato). Esempi ed esercizi. Campi. Campo primo di un campo e caratteristica di un campo. Omomorfismo di Frobenius. Estensioni di campi. Esempi.

Mercoledi'   30/3/2016 14-15
Estensioni di campi: esempi. Grado di un'estensione. La regola della torre. Estensioni semplici. Elementi algebrici e trascendenti. Estensioni algebriche.

Venerdi'   1/4/2016 9-11
Proprieta' delle estensioni semplici. Sia L:K un'estensione e a un elemento di L, allora K(a): K e' finita se e solo se a e' algebrico. Polinomio minimo: esistenza e unicita'. Un'estensione semplice trascendente K(a):K e' isomorfa al campo delle funzioni razionali in una indeterminata su K. Esempi.

Martedi'   5/4/2016 14-16
Siano K e L campi isomorfi tramite un isomorfismo i da K in L, K(a) e L(b) due estensioni algebriche semplici di K e L tali che m_a e' il polinomio minimo di a su K e i(m_b) e' il polinomio minimo di b su L. Allora esiste un isomorfismo j da K(a) a L(b) tale che la restrizione di j a K e' uguale a i. Campo di spezzamento. Esempi e proprieta'. Teorema di esistenza e unicita' a meno di isomorfismo di un campo di spezzamento di un polinomio.

Mercoledi'   6/4/2016 14-15
Dato un polinomio irriducibile a coefficienti in un campo K e due radici a,b di f in un campo di spezzamento L di f su K, esiste un automorfismo s di L tale che la restrizione di s a K sia l'identita' e tale che s(a) = b. Esercizi sui campi di spezzamento.

Giovedi'   7/4/2016 11-13
Esercizi su polinomi e campi di spezzamento. Il polinomio ciclotomico di grado p-1 con p primo e' irriducibile sui razionali. Estensioni normali. Esempi di estensioni normali e non normali. Un'estensione L:K e' finita e normale se e solo se esiste un polinomio f in K[x] tale che L sia il campo di spezzamento di f su K. Esempi. Tutte le estensioni di grado 2 sono normali.

Martedi'   12/4/2016 14-16
Esercizi su estensioni normali e non normali. Polinomi separabili e inseparabili.Un polinomio non nullo a coefficienti in un un campo K ha una radice multipla in un campo di spezzamento se e solo se f e f' hanno un fattore comune di grado positivo in K[x]. In un campo a caratteristica 0 tutti i polinomi irriducibili sono separabili. In cratteristica p>0 un polinomio irriducibile e' inseparabile se e solo se e' della forma f(x^p) con f in K[x]. Estensioni separabili. In caratteristica zero ogni estensione algebrica e' separabile. Se Se L:K e' separabile e M e' un campo intemedio, allora L:M e M:K sono separabili. Il gruppo di Galois di un'estensione. Esempi.

Venerdi'   15/4/2016 9-11
Gruppo di Galois di un'estensione. Campo fisso di un sottoinsieme del gruppo degli automorfismi di un campo. Corrispondenza di Galois, proprieta'. Il gruppo di Galois di un polinomio a coefficienti in un campo e' un sottogruppo del gruppo delle permutazioni delle sue radici. Se il polinomio e' irriducibile il sottogruppo e' transitivo. Esempi ed esercizi sul calcolo del gruppo di Galois di un'estensione.

Martedi'   19/4/2016 14-16
Monomorfismi di campi. Lemma di Dedekind. Sia L un campo, se G e' un sottogruppo finito di Aut(L) e K e' il campo fisso di G, allora [L:K] = |G|. K-monomorfismi. Sia L:K e' normale e finita e M un campo intermedio. Se T e' un K-monomorfismo da M in L allora T si estende ad un automorfismo di L che fissa K. Se L: K e' finita e normale e a e b sono due radici in L di un polinomio irriducibile su K , allora esiste un elemento di G(L,K) che manda a in b. Chiusura normale di un'estensione algebrica. Esempi.

Mercoledi'   20/4/2016 14-16
Sia L:K normale e finita, allora esiste una chiusura normale di L:K che e' un'estensione finita di K ed e' unica a meno di isomorfismi. L:K finita, allora L:K e' normale se e solo se esiste un'estensione normale N di K che contiene L tale che ogni K- monomorfismo di L in N e' un K-automorfismo di L, se e solo se per ogni estensione M di K che contiene L, ogni K-monomorfismo da L in M e' un K-automorfismo di L.

Giovedi'   21/4/2016 11-13
Sia L:K finita e separabile di grado n, allora esistono esattamente n K-monomorfismi distinti di L in una chiusura normale di L:K e quindi in ogni estensione normale di K che contiene L. Se L:K e' finita normale e separabile (di Galois) di grado n, alora |G(L,K)| = n. Se L:K e' di Galois, K e' il campo fisso di G(L,K). Se M:K e' finita e L e' un campo intermedio tale che [L:K]=n, allora ci sono al piu' n K-monomorfismi distinti da L in M. Se L:K non e' separabile il numero dei K-monomorfismi da L in M e' minore di n. Se L:K e' finita e K e' il campo fisso di G(L,K) allora L:K e' di Galois.

Venerdi'   22/4/2016 9-11
Dimostrazione del teorema fondamentale della teoria di Galois. Esempi di calcolo di gruppi di Galois e descrizione della corrispondenza di Galois.

Martedi'   26/4/2016 14-16
Esercizi sul calcolo di gruppi di Galois e sulla corrispondenza di Galois.

Venerdi'   29/4/2016 9-11
Esercizi sul calcolo di gruppi di Galois e sulla corrispondenza di Galois. Campi algebricamente chiusi. Chiusura algebrica di un campo. Esistenza e unicita' a meno di isomorfismo della chiusura algebrica di un campo (solo enunciato).

Martedi'   3/5/2016 14-16
Campi di caratteristica p>0. Omomorfismo di Frobenius. Se car(K) = p> e K e' algebrico sul suo campo primo, allora l'omomorfismo di Frobenius e' un automorfismo e tutti i polinomi in K[x] sono separabili. Esempio di un'estensione inseparabile. Campi finiti. Se p e' un primo, un campo F ha cadinalita' q=p^n se e solo se e' il campo di spezzamento di x^q-x sul suo campo primo. Se L e' un campo finito e K il suo campo primo allora L:K e' di Galois. Ogni estensione L:K con L finito e' di Galois. Esponente di un gruppo finito. Ogni gruppo abeliano finito di ordine pari al suo esponente e' ciclico. Un sottogruppo finito del gruppo moltiplicativo di un campo e' ciclico. Il gruppo moltiplicativo di un campo finito e' ciclico. Se L:K e' un'estensione e L e' finito, allora L:K e' semplice. Se K e' un campo di cardinalita' p^n allora il gruppo degli automorfismi di K e' ciclico di ordine n generato dal Frobenius. Se L:K e' un'estensione e L e' finito allora G(L,K) e' ciclico di ordine pari a [L:K].

Mercoledi'   4/5/2016 14-15
Il teorema dell'elemento primitivo. Esempi.

Venerdi'   6/5/2016 9-11
Esercizi sulla teoria di Galois. Estensioni radicali. Polinomi risolubili per radicali.

Martedi'   10/5/2016 14-16
Polinomi ciclotomici. Il polinomio ciclotomico e' irriducibile sui razionali. Gruppo di Galois di un polinomio ciclotomico. Estensioni radicali e risolibilita' per radicali. Sia K un campo di caratteristica zero. Se L:K e' normale e radicale, allora G(L,K) e' risolubile.

Mercoledi'   11/5/2016 14-15
Sia K un campo di caratteristica zero. Se L:K e' un'estensione e N e' un'estensione di L radicale su K, allora G(L,K) e' risolubile. Se f e' un polinomio a coefficienti in K con car(K) =0 risolubile per radicali allora il suo gruppo di Galois e' risolubile. Se p e' un primo e f e' un polinomio irriducibile a coefficienti razionali di grado p con esattamante due radici non reali, il gruppo di Galois di f e' isomorfo a S_p. Esempio di una quintica non risolubile per radicali. Estensioni trascendenti. Elementi algebricamente indipendenti.

Venerdi'   13/5/2016 11-13
Elementi trascendenti algebricamente indipendenti. Grado di trascendenza. Polinomio generale di grado n. Funzioni simmetriche elementari. Il gruppo di Galois del polinomio di grado n su K(s_1,...,s_n) e' S_n. Teorema di Abel: car(K) =0, n>4, allora il polinomio generale di grado n "su K" non e' risolubile per radicali.

Martedi'   17/5/2016 14-16
Estensioni finite normali con gruppo di Galois ciclico. Norma di un elemento.Elementi di norma 1. Se K e' un campo a caratteristica zero e L:K e' un'estensione di Galois con gruppo di Galois risolubile, allora esiste un'estensione R di L tale che R:K sia radicale. Su un campo a caratteristica zero un polinomio e' risolubile per radicali se e solo se il suo gruppo di Galois e' risolubile. Se car(K) = 0 e n < 5 il polinomio generale di grado n "su K" e' risolubile per radicali.

Mercoledi'   18/5/2016 14-15
Discriminante di un polinomio. Cubiche: gruppo di Galois e risoluzione per radicali.

Venerdi'   20/5/2016 9-11
Quartiche: gruppo di Galois e risoluzione per radicali.

Martedi'   24/5/2016 14-16
Esercizi sulle quartiche e su tutto il programma.

Mercoledi'   25/5/2016 14-15
Esercizi sulla teoria di Galois.

Venerdi'   27/5/2016 9-11
Esercizi sulla teoria di Galois.