CORSO DI ALGEBRA LINEARE

Anno Accademico 2021-2022
 
Registro delle lezioni

Mercoledi'  29/09/2021, 11-12
Introduzione al linguaggio della teoria degli insiemi. Connettivi logici, proposizioni, quantificatori, predicati, relazioni.

Venerdi'  01/10/2021, 9-11
Insiemi, appartenenza di un elemento ad un insieme, inclusione, uguaglianza tra insiemi, insieme vuoto. Operazioni tra insiemi: intersezione ed unione, differenza. Proprieta' dell'unione e dell'intersezione, leggi di De Morgan. Insieme delle parti, complementare di un sottoinsieme. Esempi. Prodotto cartesiano. Applicazioni tra insiemi. Immagine di un sottoinsieme tramite un'applicazione. Applicazioni suriettive e iniettive. Applicazioni iniettive, suriettive, biunivoche. Esempi.Composizione di due applicazioni. Associativita' della composizione. Esempi. Applicazioni invertibili.

Lunedi'  04/10/2021, 11-13
Un'applicazione e' invertibile se e solo se e' bigettiva. Se un'applicazione e' invertibile, l'inversa e' unica. Immagine e controimmagine di un sottoinsieme tramite un'applicazione. Proprieta' e comportamento rispetto alle operazioni di unione e intersezione.Relazioni di equivalenza. Esempi. Due classi di equivalenza o sono disgiunte o coincidono. Insieme quoziente pet una relazione di equivalenza. Esempi.

Martedi'  05/10/2021, 9-11
Esempi di relazioni di equivalenza. Quoziente di un insieme per una relazione di equivalenza. Assioma della scelta. Preordinamenti e ordinamenti. Esempi. Ordinamenti totali. Enunciato del Lemma di Zorn. Numeri natutrali. Principio di induzione.

Martedi'  05/10/2021, 16-17
Dimostrazioni per induzione. Gruppi. Definizione di gruppo, proprieta' ed esempi.

Mercoledi'  06/10/2021, 11-12
Esempi di gruppi: il gruppo delle applicazioni biunivoche da un insieme in se', gruppo delle permutazioni su n elementi, il gruppo Z/nZ.

Venerdi'  08/10/2021, 9-11
Definizione di anello commutativo con unita' e di campo. Esempi di campi. I numeri complessi. Definizione delle operazioni di somma e prodotto.Coniugato di un numero complesso, modulo di un numero complesso e loro proprieta'. L'inverso di un numero complesso non nullo. I numeri complessi sono un campo. Rappresentazione trigonometrica di un numero complesso e forma esponenziale di un numero complesso.

Venerdi'  15/10/2021, 9-11
Esercizi sui numeri complessi. Radici n-esime dell'unita'. Definizione di spazio vettoriale su un campo K. Esempi di spazi vettoriali: vettori geometrici nel piano, K^n, polinomi a coefficienti in un campo, applicazioni da un insieme a valori in un campo.

Lunedi'  18/10/2021, 11-13
Sistemi di generatori. Esempi. Indipendenza lineare. Esempi di insiemi di vettori linearmemte indipendenti e non linearmente indipendenti. Definizione di base di uno spazio vettoriale. Esempi ed esercizi.

Martedi'  19/10/2021, 9-11
Se un insieme S={v_1,...,v_n} e' un sistema di generatori ma non e' una base, esiste un i tra 1 e n tale che S-{v_i} e' ancora un sistema di generatori. Se ho un insieme S di vettori linearmente indipendenti in uno spazio vettoriale V che non e' una base di V, esiste un v in V tale che S U {v} e' ancora un insieme linearmente indipendente. Teorema dello scambio. Due basi hanno la stessa cardinalita'. Se uno spazio vettoriale e' finitamente generato, esiste una base finita e ogni insieme di vettori linearmente indipendenti si puo' completare ad una base. Dimensione di uno spazio vettoriale.

Mercoledi'  20/10/2021, 9-12
Dimensione di uno spazio vettoriale. Esempi di spazi vettoriali di dimensione infinita. Esempi di insiemi linearmente indipendenti di cardinalita' numerabile e non numerabile. Coordinate di un vettore rispetto ad una base. Esempi ed esercizi sulle coordinate. Matrici mxn a coefficienti in un campo. Somma di due matrici, prodotto per scalare. Mat(mxn, K) e' uno spazio vettoriale su K. Prodotto righe per colonne. Esempi.

Venerdi'  22/10/2021, 9-11
Proprieta' della somma e del prodotto righe per colonne. Matrice identita'. Trasposta di una matrice. Matrici invertibili. L'insieme delle matrici invertibili e' un gruppo non abeliano con il prodotto righe per colonne.Coordinate di un vettore rispetto ad una base e matrici di cambiamento di base. Esempi di calcolo di matrici di cambiamento di base.

Lunedi'  25/10/2021, 11-13
Definizione di sottospazio vettoriale e primi esempi. Esempi ed esercizi sui sottospazi vettoriali. Il sottospazio generato (o Span) di un insieme di vettori. Proprieta' ed esempi. Intersezione di sottospazi e' un sottospazio. L'unione di sottospazi in generale non e' un sottospazio. Definizione di somma di sottospazi. La somma di sottospazi e' un sottospazio. Somma diretta di due sottospazi. Esempi.

Martedi'  26/10/2021, 9-11
Dimostrazione della formula di Grassmann. Somma e somma diretta di k spazi vettoriali. Esempi ed esercizi sui cambiamenti di base.

Mercoledi'  27/10/2021, 11-12
Applicazioni lineari. Definizione ed esempi. Un'applicazione lineare e' determinata dall'immagine degli elementi di una base. Esempi di applicazioni lineari.

Venerdi'  29/10/2021, 9-11
Esempi di applicazioni lineari. La composizione di applicazioni lineari e' lineare. Se un'applicazione lineare e' biunivoca, la sua inversa e' lineare. Isomorfismi. Esempi. Matrice associata ad un'applicazione lineare rispetto a una base in partenza e una in arrivo.

Martedi'  2/11/2021, 9-11
Matrici associate ad applicazioni lineari. Esempi di calcolo delle matrici associate ad un'applicazione lineare rispetto a diverse basi in partenza e in arrivo. Matrici equivalenti e significato in termini di applicazioni lineari e di cambiamento di basi.

Mercoledi'  3/11/2021, 11-12
Matrici simili. Significato in termini di applicazioni lineari e di cambiamento di basi. Esempi. Nucleo e immagine di un'applicazione lineare. L'immagine e il nucleo di un'applicazione lineare sono sottospazi vettoriali rispettivamente dello spazio di arrivo e di quello di partenza. Un'applicazione lineare e' iniettiva se e solo se il suo nucleo e' banale.

Venerdi'  5/11/2021, 9-11
Dimostrazione del teorema della dimensione e conseguenze. Il rango di una matrice. Se A e' una matrice quadrata nxn, allora A e' invertibile se e solo se A ha nucleo banale se e solo se A ha rango n se e solo se le colonne di A formano una base di K^n se e solo se le righe di A formano una base di K^n. Esercizi su nucleo, immagine, rango.

Lunedi'  8/11/2021, 11-13
Due matrici sono equivalenti se e solo se hanno lo stesso rango. Problemi lineari e sistemi lineari e loro soluzioni. Teorema di Rouche' Capelli. Il rango di una matrice e' il massimo numero di righe linearmente indipendenti.

Martedi'  9/11/2021, 9-11
Metodo di Gauss per righe. Esempi. Calcolo della matrice inversa di una matrice invertibile tramite il metodo di Gauss. Esercizi sui sistemi lineari. Sistemi lineari dipendenti da un parametro reale.

Mercoledi'  10/11/2021, 11-12
Esercizi sui sistemi lineari e sul metodo di Gauss. Esempi di calcolo della matrice inversa di una matrice invertibile tramite il metodo di Gauss.

Venerdi'  12/11/2021, 9-11
Esercizi su sistemi lineari, applicazioni lineari e sottospazi vettoriali. Definizione di applicazione multilineare. Forme multilineari simmetriche e alternanti. Esempi di forme multilineari simmetriche e alternanti.

Lunedi'  15/11/2021, 11-13
Definizione del determinante di una matrice per ricorrenza tramite lo sviluppo di Laplace per la prima riga. Esempi di calcolo del determinante. Il determinante e' una forma multilineare nelle colonne. Il determinante e' alternante nelle colonne. Teorema di caratterizzazione del determinante: il determinante e' l'unica applicazione multilineare alternante nelle colonne che vale 1 sulla matrice identita'. Formula del determinante con le permutazioni.

Martedi'  16/11/2021, 9-11
Teorema di Binet. Teorema del rango: una matrice nxn ha rango n se e solo se il suo determinante e' diverso da zero. Una matrice mxn ha rango r se e solo se esiste un minore rxr invertibile e tutti i minori di ordine maggiore di r hanno determinante uguale a zero. Esempi di calcolo del rango di matrici.

Mercoledi'  17/11/2021, 11-12
Sviluppo di Laplace per righe. Il determinante di una matrice e' uguale al determinante della sua trasposta. Sviluppo di Laplace per colonne. Calcolo della matrice inversa di una matrice invertibile utilizzando la matrice aggiunta.

Venerdi'  19/11/2021, 9-11
Esercizi di calcolo del determinante e dell'inversa di una matrice invertibile. Duale di uno spazio vettoriale. Base duale. Duale di un'applicazione lineare tra spazi vettoriali. Fissata F:V--->W lineare, fissata una base di V e una di W, la matrice associata all'applicazione duale nelle basi duali e' la trasposta della matrice associata a F nelle basi scelte. Biduale. C'e' un isomorfismo canonico tra uno spazio vettoriale di dimensione finita e il suo biduale.

Lunedi'  22/11/2021, 11-13
Autovalori e autovettori di un operatore lineare e di una matrice. Autospazi. Matrici simili hanno gli stessi autovalori. Polinomio caratteristico. Traccia di una matrice. Due matrici simili hanno lo stesso polinomio caratteristico. Esempi ed esercizi sulla traccia di una matrice e sul polinomio caratteristico.

Martedi'  23/11/2021, 9-11
Esempi ed esercizi sulla traccia di una matrice e sul polinomio caratteristico. Matrici diagonalizzabili. Una matrice nxn a coefficienti in K e' diagonalizzabile se e solo se esiste una base di K^n fatta da autovettori. Molteplicita' algebrica e geometrica di un autovalore.

Mercoledi'  24/11/2021, 9-12
Autospazi relativi ad autovalori distinti sono in somma diretta. La molteplicita' geometrica di un autovalore e' minore o uguale alla molteplicita' algebrica. Una matrice nxn a coefficienti in K e' diagonalizzabile e e solo se il polinomio caratteristico si fattorizza come prodotto di fattori lineari e per ogni autovalore, la molteplicita' algebrica e' uguale a quella geometrica. Esercizi sulla diagonalizzazione.

Lunedi'  29/11/2021, 11-13
Dimostrazione del teorema di Cayley Hamilton. Conseguenze di Cayley Hamilton. Matrici nilpotenti: proprieta'. Esempi.

Martedi'  30/11/2021, 9-11
Enunciato del teorema della forma canonica di Jordan per un operatore lineare su uno spazio vettoriale complesso di dimensione finita. Caso degli operatori nilpotenti. Esempi ed esercizi sulla diagonalizzazione di matrici a coefficienti complessi e di calcolo della forma canonica di Jordan.

Mercoledi'  1/12/2021, 11-12
Forme bilineari da V x W in K. Matrice associata ad una forma bilineare rispetto ad una base di V e una di W. Cambiamento di base. Matrici congruenti.

Venerdi'  3/12/2021, 9-11
Forme bilineari non degeneri. Spazio nullo. Sia A una matrice simmetrica o antisimmetrica, allora l'applicazione bilineare associata e' non degenere se e solo se A e' invertibile. Esempi. Forma quadratica associata ad una forma bilineare simmetrica. Se K e' un campo di caratteristica diversa da due, su K^n c'e' una corrispondenza biunivoca tra forma bilineari simmetriche, forma quadratiche e matrici simmetriche. Teorema di Lagrange: data una forma quadratica q da V in K, esiste una base di V ortogonale per q. Ogni matrice simmetrica e' congruente ad una matrice diagonale.

Lunedi'  6/12/2021, 11-13
Esempi di diagonalizzazione di forme quadratiche. Sul campo dei numeri complessi due matrici simmetriche sono congruenti se e solo se hanno lo stesso rango. Forme quadratiche reali. Forme quadratiche (semi-)definite positive, negative e indefinite. Esempi. Segnatura di una forma quadratica reale.

Martedi'  7/12/2021, 9-11
Segnatura di una forma quadratica reale. La segnatura e' invariante per congruenza. Le matrici diagonali con I_s, -I_k e 0 sulla diagonale hanno segnatura (s,k). Teorema di Sylvester. Criteri per il calcolo della segnatura di una forma quadratica reale. Criterio dei minori principali. Esercizi sul calcolo della segnatura.

Lunedi'  13/12/2021, 11-13
Esercizi sul calcolo della segnatura di forme quadratiche reali.

Martedi'  14/12/2021, 9-11
Spazi vettoriali euclidei. Ortogonalizzazione di Gram- Schmidt. Distanza indotta e proprieta'. Disuguaglianza di Schwarz e disuguaglianza triangolare. Matrici ortogonali. Caratterizzazioni delle matrici ortogonali. Ortogonale di un sottospazio rispetto ad un prodotto scalare (definito positivo) e proprieta'.

Mercoledi'  15/12/2021, 11-12
Forme Hermitiane, spazi vettoriali Hermitiani e proprieta'. Il prodotto Hermitiano standard. Basi unitarie. Matrici Hermitiane.

Venerdi'  17/12/2021, 9-11
Matrici Hermitiane, unitarie, normali. Aggiunto di un operatore lineare rispetto ad un prodotto Hermitiano. Operatori autoaggiunti, unitari, normali. Una matrice quadrata ha il polinomio caratteristico che si fattorizza come prodotto di fattori lineari se e solo se e'simile ad una matrice triangolare superiore. Una matrice quadrata a coefficienti reali ha polinomio caratteristico che si fattorizza come prodotto di fattori lineari se e solo se e' ortogonalmente simile ad una matrice triangolare superiore. Una matrice quadrata complessa e' unitariamente simile ad una matrice triangolare superiore. Teorema spettrale per matrici normali. Una matrice Hermitiana ha tutti gli autovalori reali.

Lunedi'  20/12/2021, 11-13
Una matrice Hermitiana ha tutti gli autovalori reali. Teorema spettrale reale. Conseguenze. Forma polare di una matrice invertibile. Diagonalizzazione simultanea di forme quadratiche.

Martedi'  21/12/2021, 9-11
Definizione ed esempi di spazi affini. Sistemi di riferimento affini. Sottospazi affini passanti per un punto e con data giacitura. Sottospazi affini generati da N+1 punti. Punti affinemente indipendenti. Equazioni parametriche e cartesiane di un sottospazio affine.

Mercoledi'  22/12/2021, 11-12
Sottospazi affini paralleli e sottospazi affini sghembi. Spazi affini di dimensione due e tre. Equazioni parametriche e cartesiane di rette nel piano e di rette e piani nello spazio.

Lunedi'  10/01/2022, 11-13
Posizioni reciproche di due rette nel piano, di una retta e di un piano nello spazio e di due rette nello spazio in termini sia delle equazioni parametriche che di quelle cartesiane.

Martedi'  11/01/2022, 9-11
Spazi affini euclidei. Distanza tra un punto e una retta e tra due rette prallele nel piano. Nello spazio: distanza di un punto da un piano, distanza tra una retta e un piano paralleli, distanza di un punto da una retta, distanza tra due rette sghembe. Sfere. Distanza di un punto da una sfera nello spazio affine. Esempi.

Mercoledi'  12/01/2022, 11-12
Esercizi di geometria analitica.