CORSO DI GEOMETRIA 1

Anno Accademico 2021-2022
 
Registro delle lezioni

Martedi'  01/03/2022, 14.15-15.00
Riassunto su spazi affini, sottospazi affini. Sottospazi paralleli, incidenti, sghembi. Intersezione di sottospazi. Formula di Grassmann.

Mercoledi'  02/03/2022, 9.30-11.00
Esempi. Simplessi, sottoinsiemi convessi. Lo spazio quoziente di uno spazio vettoriale per un sottospazio. Esercizi su spazi affini e sottospazi.

Venerdi'  04/03/2022, 9.30-11.00
Fasci di rette nel piano affine e fasci di piani nello spazio affine di dimensione 3. Teoremi di Talete e di Pappo nel piano affine.

Lunedi'  07/03/2022, 11.15-13.00
Teorema di Desargues nel piano affine. Cambiamenti di coordinate affini. Isomorfismi affini e affinita'. Esempi. Un'affinita' e' univocamente determinata dall'automorfismo dello spazio vettoriale ad essa associato e dall'immagine di un qualunque punto. L'insieme delle affinita' e' un gruppo.

Martedi'  08/03/2022, 14.15-15.00
Esempi di affinita': Traslazioni. Le traslazioni sono un sottogruppo del gruppo delle affinita' isomorfo allo spazio vettoriale V associato allo spazio affine. Affinita' che fissano un punto. Le affinita' che fissano un punto sono un sottogruppo del gruppo delle affinita' ismorfo a GL(V). Omotetie.

Mercoledi'  09/03/2022, 9.30-11.00
Simmetria rispetto ad un punto e sottoinsiemi delo spazio affine simmetrici rispetto ad un punto. Ogni affinita' si scrive in due modi unici: come la composizione gt di una traslazione t con una affinita' che fissa un punto g, oppure come la composizione t'g di g con una traslazione t'. Il gruppo Aff_n(K) delle affinita' di K^n: per ogni f in Aff_n(K) si ha: f(x) = Ax +b, dove A e' una matrice in GL_n(K) e b e' un vettore in K^n. Struttura del gruppo Aff(A) delle affinita' di uno spazio affine.

Venerdi'  11/03/2022, 9.30-11.00
Equivalenza affine. Teorema fondamentale della geometria affine. Due sottospazi sono affinemente equivalenti se e solo se hanno la stessa dimensione. Esercizi sulle affinita'.

Lunedi'  14/03/2022, 11.15-13.00
Esercizi su spazi affini, sottospazi affini e affinita'. Spazi affini euclidei.

Martedi'  15/03/2022, 14.15-15.00
Spazi vettoriali euclidei e operatori unitari. Caratterizzazione degli operatori unitari e proprieta'. La matrice associata ad un operatore unitario in una mase ortonomale e' una matrice ortogonale.

Mercoledi'  16/03/2022, 9.30-11
Spazi affini euclidei e isometrie. Definizione ed esempi. Caratterizzazione delle isometrie. Isometrie dirette e inverse: esempi. Rotazioni. Isometrie del piano affine.

Venerdi'  18/03/2022, 9.30-11
Rifessioni rispetto ad una retta nel piano euclideo. Glissoriflessioni. Enunciato del teorema di Chasles. Riflessioni rispetto ad un iperpiano. Esercizi su isometrie.

Lunedi'  21/03/2022, 11.15-13
Spazi proiettivi: definizione ed esempi. Coordinate omogenee. Sottospazi proiettivi. Equazioni cartesiane di sottospazi proiettivi. Intersezione di sottospazi proiettivi. Sottospazio proiettivo generato da un sottoinsieme di P(V). Punti proiettivamente indipendenti. Esempi. Punti in posizione generale. Il sottospazio proiettivo generato dall'unione di due sottospazi P(W_1) e P(W_2) e' P(W_1+W_2). Formula di Grassmann proiettiva. Esempi.

Martedi'  22/03/2022, 14-15.30
Equazioni parametriche di sottospazi proiettivi. Data una (n+2)-upla ordinata di punti in posizione generale in uno spazio proiettivo di dimensione N, esiste un unico sistema di coordinate omogenee in cui questi siano i punti fondamentali. Geometria affine e proiettiva. Iperpiani impropri. Teorema di Pappo-Pascal. Esempi.

Mercoledi'  23/03/2022, 9.30-11.00
Cambiamenti di coordinate omogenee. Isomorfismi di spazi proiettivi e proiettivita'. Teorema fondamentale della geometria proiettiva. Esempi in dimesione 1 e due.

Venerdi'  25/03/2022, 9.30-11.00
Birapporto: definizione e proprieta'. Esercizi su spazi proiettivi e sottospazi proiettivi.

Lunedi'  28/03/2022, 11.15-13.00
Coniche proiettive e coniche affini. Classificazione proiettiva delle coniche proiettive sui campi dei numeri complessi e reali. Classificazione affine delle coniche affini sui campi dei numeri complessi e reali.

Martedi'  29/03/2022, 14.00-15.30
Esercizi su coniche affini, proiettive e sulle proiettivita'.