CORSO DI ISTITUZIONI DI GEOMETRIA

Anno Accademico 2014-2015
 
Registro delle lezioni

Giovedi'  5/3/2015 14-16
Esempi di varieta' differenziabili: Grassmanniane e scoppiamento del piano nell'origine. Spazio tangente in un punto ad una varieta': definizione con le curve.
Differenziale di un'applicazione differenziabile tra due varieta'.

Giovedi'  19/3/2015 14-16
Gruppi di Lie: definizioni ed esempi. Il tangente ad O(n) in un punto. SL(n,R), GL(n,R). Azioni di un gruppo di Lie su una varieta' differenziabile. Esempi. Orbite, stabilizzatori, azioni libere, azioni transitive.

Lunedi'  23/3/2015 11-13
Immersioni ed embeddings. Un'immersione iniettiva e propria e' un embedding. Azioni proprie di guppi di Lie su varieta' differenziabili. Se un'azione di un gruppo di Lie G su una varieta' M e' propria il quoziente M/G e' di Hausdorff. Se un'azione di un gruppo di Lie G su una varieta' M e' propria e libera, le orbite sono sottovarieta' differenziabili di M diffeomorfe a G. Senza dimostrazione: se l'azione e' libera e propria il quoziente ha una struttura di varieta' differenziabile compatibile con la topologia quoziente e tale che la mappa quoziente sia una summersione.

Giovedi' '  9/4/2015 14-16
Esempi di azioni di gruppi di Lie su varieta': la Grassmanniana e S^n visti come quozienti. Fibrazioni localmente banali e fibrati vettoriali su varieta'. Il fibrato tangente e il fibrato cotangente.

Lunedi' '  13/4/2015 11-13
Sezioni di fibrati. Sezioni locali e banalizzazioni locali. 1-forme differenziali. Pull-back di 1-forme. Esempi di fibrati: i fibrati tangenti a S^1 e a S^3 sono banali. Fibrato tautologico di P^n(R). Omomorfismi di fibrati, sottofibrati.

Lunedi' '  20/4/2015 11-13
Sottofibrati e fibrati quoziente. Il fibrato normale di una sottovarieta' in una varieta'. Esempi. Pullback di un fibrato vettoriale tramite una applicazione differenziabile. Esempi. Elementi di algebra multilineare. L'algebra esterna di uno spazio vettoriale reale.

Lunedi' '  27/4/2015 11-13
Operazioni tra fibrati: prodotto tensoriale, prodoto esterno, duale, somma di Whitney. p-Forme differenziali su una varieta'. Pullback di forme. Il differenziale esterno di de Rham, definizione e prime proprieta'.

Lunedi' '  4/5/2015 11-13
Il differenziale esterno di de Rham: esistenza e unicita'. Proprieta' del differenziale esterno. Il differenziale commuta con il pullback di forme.

Lunedi' '  18/5/2015 11-13
Orientabilita' e orientazione di varieta' differenziabili. Una varieta' di dimensione n e' orientabile se e solo se esiste una n forma mai nulla (forma di volume). Esempi: forma di volume su S^n. Gli spazi proiettivi reali sono orientabili se e solo se n e' dispari. Intgrazione di n forme a supporto compatto su varieta' orientabili.

Martedi' '  19/5/2015 9-11
Integrazione di n forme a supporto compatto su varieta' orientabili. Varieta' con bordo. Varieta' con bordo orientabili e orientazione del bordo. Teorema di Stokes.

Giovedi' '  21/5/2015 14-16
Conseguenza di Stokes: teorema del punto fisso di Brouwer differenziabile e formula di Gauss-Green nel piano. Coomologia di de Rham: definizione e proprieta'. Esempi. Omologia singolare: definizione e proprieta'. Enunciato del teorema di Stokes sulle catene singolari. Enunciato del teorema di de Rham.

Lunedi' '  25/5/2015 11-13
Se f,g sono due applicazioni differenziabili tra due varieta' differenziabili e f e' differenziabilmente omotopa a g, allora f e g inducono la stessa appllicazione in coomologia di de Rham. Lemma di Poincare'. Successione esatta di Mayer Vietoris per la coomologia di de Rham.

Martedi' '  26/5/2015 9-11
Calcolo della coomologia di de Rham della circonferenza, del toro e delle sfere. Esercizi di calcolo della coomologia di de Rham.

Giovedi' '  28/5/2015 14-16
Cenno della dimostrazione del teorema di de Rham. Enunciato del teorema di dualita' di Poincare'. Coomologia di de Rham della superfici compatte e orientate. Esercizi di calcolo della coomologia di de Rham.