Calcolo delle Variazioni
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Docente: Prof.ssa Maria Giovanna Mora Ufficio: stanza C5, Dipartimento di Matematica, via Ferrata 1 Telefono: 0382 985687 E-mail: mariagiovanna.mora@unipv.it Orario lezioni: mercoledì 14:00-15:30, giovedì 11:15-12:45, aula E9 Ricevimento studenti: il ricevimento è su appuntamento (per e-mail) Programma d'esame: Metodo diretto del Calcolo delle Variazioni. Funzioni semicontinue inferiormente: definizione sequenziale e topologica, proprietà. Funzioni coercive e sequenzialmente coercive. Funzioni convesse: dominio, epigrafico, proprietà. Disuguaglianza di Jensen. Inviluppo semicontinuo inferiormente e inviluppo convesso. Funzioni di Carathéodory. Funzionali integrali su spazi di Lebesgue: semicontinuità rispetto a topologie forte e debole. Operatori di Nemytskii. Teorema di Dunford-Pettis (senza dimostrazione). Lemma di Riemann-Lebesgue. Convessità è condizione necessaria e sufficiente per la semicontinuità debole. Richiami sulle funzioni a variazione limitata e assolutamente continue. Richiami sugli spazi di Sobolev (definizione, proprietà, convergenze, immersioni, teorema di Meyers-Serrin, spazio W^{1,p}_0, disuguaglianza di Poincaré). Funzionali integrali su spazi di Sobolev: semicontinuità rispetto a topologie forte e debole. Quasi-convessità, policonvessità e convessità di rango uno. Quasi-convessità è condizione necessaria e sufficiente per la semicontinuità debole (con dimostrazione della sola condizione necessaria). Rilassamento. Differenziabilità secondo Fréchet e secondo Gâteaux. Equazione di Eulero-Lagrange. Equazione di DuBois-Reymond. Risultati di regolarità per problemi uno-dimensionali. Gamma-convergenza: teorema fondamentale, stabilità rispetto a perturbazioni continue, relazioni con convergenza uniforme e puntuale, Gamma-liminf e Gamma-limsup, semicontinuità inferiore del Gamma-limite, rilassamento. Teoria gradiente delle transizioni di fase (Modica-Mortola). Gamma-convergenza di funzionali quadratici sotto l'ipotesi di convergenza uniforme dei coefficienti. Omogeneizzazione di funzionali quadratici. Bibliografia: G. Buttazzo, M. Giaquinta, S. Hildebrandt, One-dimensional Variational Problems, An Introduction, Oxford University Press, 1998 B. Dacorogna, Direct Methods in the Calculus of Variations, Springer 2002, 2nd edition A. Braides, Gamma-convergence for beginners, Oxford University Press, 2002 I. Ekeland, R. Temam, Convex analysis and variational problems, North-Holland Publishing Co., 1976 G. Dal Maso, An introduction to Gamma-convergence, Birkhaüser, 1993 Date d'esame: 16/01, 21/02 ore 9:00, aula C12 14/06, 18/07, 06/09, 21/09 ore 9:30, aula C12 Esercizi proposti: Esercizi Diario delle lezioni: 05/10/16: introduzione al corso, metodo diretto del Calcolo delle Variazioni 06/10/16: funzioni s.c.i., coercive, convesse 12/10/16: funzionali integrali su spazi L^p, operatori di Nemytskii 13/10/16: richiami sulla topologia debole 19/10/16: Teorema di Dunford-Pettis (senza dimostrazione), Lemma di Riemann-Lebesgue 20/10/16: convessità come condizione necessaria per la semicontinuità, esempi 26/10/16: teoria astratta del rilassamento 27/10/16: rilassamento per funzionali integrali su L^p, richiami sulle funzioni BV e AC 02/11/16: richiami sugli spazi di Sobolev 03/11/16: richiami sugli spazi di Sobolev, funzionali integrali su spazi di Sobolev 09/11/16: problemi di minimo su spazi di Sobolev: alcuni esempi 10/11/16: problemi di minimo su spazi di Sobolev: alcuni esempi 16/11/16: convessità come condizione necessaria per la semicontinuità debole 17/11/16: convessità come condizione necessaria per la semicontinuità debole (cont.), quasi convessità 23/11/16: policonvessità, convessità di rango uno 24/11/16: quasi convessità come condizione necessaria per la semicontinuità debole, differenziale di Gâteaux e di Fréchet 01/12/16: equazione di Eulero-Lagrange, formulazione debole e forte, equazione di DuBois-Reymond 07/12/16: risultati di regolarità per problemi uno-dimensionali 14/12/16: applicazioni al problema dell'elasticità 15/12/16: teoria astratta della Gamma-convergenza, teorema fondamentale 21/12/16: rilassamento e Gamma-convergenza, Gamma-liminf e Gamma-limsup, introduzione alla teoria gradiente delle transizioni di fase 22/12/16: teoria gradiente delle transizioni di fase (Modica-Mortola) 11/01/17: Gamma-convergenza di funzionali quadratici 12/01/17: omogeneizzazione di funzionali quadratici |