HOME

Categoria IV - Modelli 4, 6, 7, 8 e 9, 10, 11, 13, 14

Ciclidi di Dupin
4 , 6 , 7 , 8 e 9 , 10 , 11 , 13 , 14

[BG], [MWC], [HC], [F], [GC]

Le Ciclidi di Dupin sono particolari superficie quartiche, e possono essere definite in vari modi equivalenti. Riportiamo un teorema di caratterizzazione:

[BG] Teorema (di caratterizzazione delle Ciclidi di Dupin): sia V una superficie compatta. Una qualunque delle seguenti condizioni è equivalente per dire che V è una Ciclide di Dupin:
(i) V è ottenuta tramite inversione sferica di un cilindro di rotazione, o un cono di rotazione, oppure un toro di rotazione.
(ii) entrambe le evolute di V degenerano in curve.

Un altro modo in cui si possono definire le Ciclidi di Dupin è come inviluppi di tutte le sfere tangenti a tre sfere fisse [HC, GC]. Ancora, si possono vedere come gli inviluppi di tutte le sfere con centri su una conica e tangenti ad una sfera fissa [MWC].
Le Ciclidi di Dupin sono anche caratterizzate dalla proprietà che tutte le loro linee di curvatura sono cerchi [HC] o linee rette [F], le quali, essendo linee di curvatura, quando si intersecano fra di loro lo fanno sempre ortogonalmente; alcune di queste linee di curvatura sono segnate sui modelli. Un esempio semplice di Ciclide è il Toro generico, che viene descritto dalla rotazione di un cerchio intorno ad un asse che appartiene al piano del cerchio. A seconda che l'asse intorno a cui ruota il cerchio sia  esterno, secante o tangente al cerchio stesso, si ottiene un Toro ad anello, un Toro a fuso oppure un Toro a corno. L'evoluta del Toro è costituita dall'asse di rotazione e dal cerchio che il centro del cerchio generatore descrive nella rotazione. Anche la Sfera, che può essere vista come caso particolare di Toro in cui l'asse di rotazione è passante per un diametro del cerchio, è un esempio di Ciclide.

Le Ciclidi rappresentate nei modelli in gesso, conservati presso il Dipartimento di Matematica, si possono ottenere dai Tori generici mediante un processo di Inversione sferica dei punti del Toro. L'inversione sferica rispetto alla sfera di centro e raggio R in è un'applicazione

I :

che trasforma ogni punto P di in un punto di secondo la regola vettoriale:

= +

mentre il punto viene trasformato nel punto all'infinito. Esplicitando le coordinate della trasformazione, abbiamo:

= +

= +

= +

É noto che le inversioni sferiche sono applicazioni conformi. Se consideriamo anche le rette come cerchi di raggio infinito, una proprietà delle inversioni sferiche è quella di trasformare cerchi in cerchi, e poiché tutte le linee di curvatura delle Ciclidi di Dupin sono cerchi o rette, si vede come l'immagine di una Ciclide di Dupin tramite un'inversione sia ancora una Ciclide di Dupin.

L'inversione sferica di un Toro ad anello è una Ciclide ad anello, un esempio è il modello IV-4. Un caso particolare si ha quando il centro della sfera d'inversione è un punto della superficie del Toro: si ottiene così una Ciclide ad anello parabolica, che passa per il punto all'infinito. La parte significativa di questa Ciclide si può vedere nel modello IV-11. Questo particolare modello ha anche la particolarità di suddividere lo spazio in due parti congruenti.

L'inversione sferica di un Toro a corno viene detta Ciclide a corno, un esempio sono i modelli IV-7 e IV-13. Se il centro di inversione sferica è un punto regolare della superficie del Toro, otteniamo uno dei casi particolari: la Ciclide a corno parabolica, un esempio è il modello IV-10. Se il centro di inversione sferica è il punto singolare del Toro (il punto di tangenza del cerchio generatore con l'asse di rotazione), si ottiene un Cilindro circolare, che quindi può essere catalogato come particolare Ciclide.
Notiamo che le Ciclidi ad anello, i Cilindri circolari e le Sfere sono le uniche Ciclidi prive di punti di singolarità.

Se applichiamo l'inversione sferica ad un Toro a fuso otteniamo la cosiddetta Ciclide a fuso, un esempio sono i modelli IV-8 e IV-9. Anche in questo caso, se il centro d'inversione sferica occupa una posizione particolare sulla superficie del Toro, otteniamo alcuni casi particolari: se è uno dei punti regolari del Toro a fuso, otteniamo la Ciclide a fuso parabolica; se invece è uno dei due punti singolari del Toro a fuso (uno dei punti d'intersezione del cerchio generatore con l'asse di rotazione), otteniamo un Cono circolare, che quindi può essere catalogato come particolare Ciclide.

Ovviamente il procedimento di inversione sferica del Toro non è l'unico modo per ottenere una Ciclide di Dupin; anche invertendo una Ciclide si ottiene una Ciclide dello stesso tipo.
Oltre alle Ciclidi di Dupin esistono altri tipi più generali di Ciclidi, che sono superficie algebriche di ordine 4 definite da un'equazione del tipo

+ (x + y + z)+ f(x, y, z) = 0

dove f è un polinomio di secondo grado.
Un'altra equazione cartesiana che può essere utilizzata per descrivere tutte le Ciclidi è del tipo:

[BG]    

dove  , , , , , R sono fissati arbitrariamente, è un parametro e . Al variare di si descrivono superficie che formano un sistema triplamente ortogonale, cioè quando tre di queste superficie si incontrano in un punto p, i piani tangenti ad esse nel punto p sono a coppie ortogonali. Se almeno due fra  , , sono uguali, questa equazione descrive una Ciclide di Dupin.

Il modello IV-14 fornisce un esempio di Ciclide generica, ottenuta dall'inversione sferica di un Cilindro parabolico. Anche su questo modello sono segnate le due famiglie di linee di curvatura. Si può riconoscere che una di queste famiglie è composta da cerchi, che sono il risulato dell'inversione della famiglia di rette del Cilindro parabolico.

•   Equazioni usate per i modelli virtuali

Le equazioni usate per disegnare i modelli IV-4,  IV-7,  IV-8 e 9, IV-10,  IV-11,  IV-13  delle Ciclidi di Dupin hanno come punto di partenza l'equazione parametrica del toro generico in :

Il disegno del modello IV-14 di Ciclide generica è l'inversione sferica del cilindro parabolico di equazione parametrica:

x(u, v) = u

y(u, v) =

z(u, v) = v

Sostituendo queste espressioni di x(u, v), y(u, v), z(u, v) nelle espressioni delle coordinate dell'inversione sferica

= +

= +

= +

otteniamo le componenti , , dell'equazione parametrica di una Ciclide in .

La seguente tabella riassume i valori specifici dei parametri a e c che determinano il toro di partenza, e i valori del raggio R e del centro della sfera di inversione, usati per ognuna delle Ciclidi di Dupin disegnate.

Modello	Toro		Sfera d'inversione
n°	a	c	R
4	1	2
7	1,05	1	1
8 e 9	1,6	0,7	1
10	1,25	1	1
11	1		1
13	1	1

Per il disegno della Ciclide generica la sfera d'inversione ha centro = (0; ; 0) e raggio R = .