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Categoria VI - Modelli 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23

Curve asintotiche su alcune superficie di rotazione
17 , 18 , 19 , 20 , 21 , 22 , 23

[T], [BG]

Per questo gruppo di modelli riportiamo una traduzione dell'opuscolo originale in tedesco, che fa parte degli scritti abbinati ai Modelli matematici costruiti nell'Istituto Matematico della Regia Università Tecnica di Monaco, sotto la direzione del Prof. Dr. Brill, dal titolo Curve asintotiche su alcune superficie di rotazione, a cura del candidato di matematiche Gottlieb Herting. In questo opuscolo vengono trattati tutti i casi possibili di curve asintotiche su superficie di rotazione, suddivisi in quattro gruppi. I modelli riguardanti il primo e il quarto gruppo non fanno parte della collezione conservata all'Università di Pavia, che consta di tutti gli esemplari descritti nel secondo gruppo, più uno descritto nel terzo gruppo. Per questo motivo riporteremo solo le parti dell'opuscolo che riguardano i modelli effettivamente presenti a Pavia, le parti non riportate saranno segnalate da (...).

Se i meridiani su una superficie di rotazione si rappresentano con l'equazione

(1)    z = f(r)

allora, notoriamente, le proiezioni delle curve asintotiche, parallelamente all'asse di rotazione (asse z) su un piano perpendicolare all'asse, si rappresentano con

(2)    

essendo r, le coordinate polari.
Questa equazione rappresenta due sistemi sovrapposti di curve congruenti, deducibili l'una dall'altra attraverso una rotazione attorno al polo. É possibile o dare i meridiani mediante la (1) e indagare le curve date da (2) oppure viceversa.

I. (...)

II. Le proiezioni delle curve asintotiche siano spirali logaritmiche, con equazione

(5)     

Per i meridiani si trova l'equazione

(6)   

dove m deve essere un numero positivo, se vogliamo ottenere una superficie di rotazione con curvatura negativa. Nel caso eccezionale m = 1 la (6) va sostituita con la

(6a)    

I seguenti esempi sono rappresentati da modelli:

Modello	Meridiani
		-

Nei primi tre casi le superficie di rotazione possiedono punti doppi biplanari con piani tangenti (principali) immaginari (coniugati), e precisamente: nel primo caso un punto doppio di tipo , nel secondo caso di tipo , nel terzo caso di tipo (L'indice indica la diminuzione che il punto doppio implica per la classe della superficie). Considerando l'equazione (5) si riconosce che le curve asintotiche sulla superficie raggiungono tali punti doppi biplanari solo dopo infiniti giri (avvolgimenti).

III. Se facciamo ruotare una delle curve rappresentate dall'equazione (6) attorno ad una retta parallela all'asse z, otteniamo superficie di rotazione per le quali l'equazione differenziale delle curve asintotiche è ancora integrabile. L'equazione del meridiano in tal caso è:

(7)    

e per le curve asintotiche risulta

(8)    

Qui sono rappresentati con modelli tre esempi: m = , , (Il caso m = corrisponde al modello n° 23, unico di questo tipo a far parte della Collezione di Pavia).
(...)

Per la superficie m = si ha ovunque curvatura negativa e le curve asintotiche passano "trasversalmente" il cerchio di gola z = 0, r = a.

(...)

In tutti i casi le proiezioni delle curve asintotiche sono tangenti al cerchio r = a (z = 0); (...).

L'equazione della curva per la quale r = a implica è:

e l'equazione della curva per la quale r = 0 implica è:

La prima curva corrisponde alla parte (della superficie) a curvatura costante negativa che "confina" con il cerchio z = 0, r = a, e ciò poiché dev'essere r > a; la seconda curva (corrisponde) alla parte che si estende fino al punto doppio.
Dalle equazioni risulta che tra i punti (delle due curve) corrispondenti allo stesso , vale la relazione

usando la quale è assai facile costruire una delle due curve se l'altra è tracciata.

IV. (...)

Nell'opuscolo in tedesco è riportata anche la seguente tabella, che riassume tutti i dodici casi possibili di superficie di rotazione con disegnate le linee asintotiche; n.p. significa non presente nella collezione di Pavia.

Dodici tipi di superficie di rotazione con disegnate le curve asintotiche costruite da G. Herting

Modello	Meridiani	Curve asintotiche
n°17
n°21
n°19
n°20
n°22
n°18
n°23
n.p.
n.p.
n.p.
n.p.
n.p.

Riportiamo anche le seguenti considerazioni, tratte da [BG]. Data l'equazione della curva meridiano della superficie sul piano xz come f(r, z) = 0, se essa si può scrivere in forma parametrica come:

r (r, z(r))

allora la superficie di rotazione ottenuta ruotando la curva meridiana intorno all'asse z si può descri-vere con un'equazione parametrica del tipo:

(u, r) (r Cos u, r Sin u, z(r))

In generale se l'equazione della curva meridiana nel piano xz si può scrivere in forma parametrica come:

v (f(v), g(v))

allora la superficie di rotazione ottenuta ruotando questa curva intorno all'asse z si può descrivere con un'equazione parametrica del tipo:

(u, v) (f(v) Cos u, f(v) Sin u, g(v))

Se invece l'equazione della curva meridiana nel piano xz è data nella forma  f(r, z) = 0, allora la superficie di rotazione ottenuta ruotando questa curva intorno all'asse z avrà equazione

•   Equazioni usate per i modelli virtuali

Le equazioni usate per disegnare i modelli per l'applet ruotabile sono di tipo parametrico, come descritto sopra. Per le equazioni dei meridiani espresse in forma implicita, si è esplicitata la z e, dove necessario, si sono calcolate separatamente la parte della superficie per le z positive e quella per le z negative, riunendo le due parti in seguito.
Per disegnare le linee asintotiche (quattro su ciascuna superficie) abbiamo ricavato dall'espressione data nell'opuscolo in tedesco e abbiamo usato la forma parametrica:

dove è la stessa della superficie di rotazione.
I valori di ed a per il modello 23 sono:   = 2  e  a = 1.