Programma

Il corso ha lo scopo di rivisitare e complementare alcuni degli argomenti trattati nel corso di Analisi Numerica, con particolare attenzione alla soluzione di sistemi algebrici lineari mediante metodi iterativi e alle equazioni differenziali ordinarie e alle derivate parziali. Per quanto riguarda le equazioni alle derivate parziali, si studieranno discretizzazioni mediante metodi alle differenze finite e agli elementi finiti per problemi ellittici, per problemi di diffusione-trasporto e per un problema parabolico, almeno nel caso monodimensionale. Elementi di programmazione MATLAB saranno parte integrante del corso.

Argomenti svolti a lezione

•   1 Ottobre: Equazioni differenziali ordinarie: richiami sui metodi a un passo
  
•   2 Ottobre: Introduzione ai metodi multistep lineari
  
•   3 Ottobre: Metodi di Adams-Bashforth e Adams-Moulton; metodi BDF; zero-stabilità e condizione delle radici
  
•   8 Ottobre: Errore di troncamento, consistenza e ordine dell'errore di troncamento; convergenza e teorema di Dahlquist; ordine massimo di un metodo multistep lineare zero-stabile (barriera di Dahlquist)
  
•   9 Ottobre: Assoluta stabiltà, A-stabilità, A(theta)-stabilità
  
• 10 Ottobre: Metodi predictor-corrector; problemi stiff (cenni)
  
• 15 Ottobre: Richiami su equazioni alle derivate parziali (PDE); classificazione delle PDE semilineari del secondo ordine a coefficienti costanti; metodi numerici: nozioni di convergenza, consistenza e stabilità; equazione del calore nel caso stazionario in dimensione 1
  
• 16 Ottobre: Equazione del calore stazionaria in dimensione 1: unicità della soluzione; rilevamento delle condizioni al bordo; motivazioni per una formulazione debole del problema; H¹(0,1): definizione, seminorma 1 e norma 1
  
• 22 Ottobre: Formulazione forte, formulazione debole e formulazione come problema di minimizzazione
  
• 23 Ottobre: Formulazioni variazionali astratte e lemma di Lax-Milgram
  
• 24 Ottobre: Metodo delle differenze finite: definizione e analisi dell'errore
  
• 29 Ottobre: Metodo di Galerkin: definizione, scrittura in forma matriciale, well-posedness, lemma di Céa e convergenza
  
• 30 Ottobre: Definizione di elemento finito
• 31 Ottobre: Laboratorio: differenze finite per il problema -u''=f con condizioni al bordo di tipo Dirichlet omogeneo
  
•   5 Novembre: Cenni sull'utilizzo dell'elemento di riferimento; metodo degli elementi finiti per il problema -u''=f (elementi P1); cenni su elementi P2; condizioni al bordo di tipo Dirichlet non omogeneo e di tipo Neumann
  
•   6 Novembre: Stime d'errore in norma dell'energia; stime d'errore in norma L² (argomento di dualità)
  
•   7 Novembre: Laboratorio: Differenze finite con condizioni al bordo di tipo Dirichlet non omogeneo
  elementi finiti per il problema -u''=f
  
• 12 Novembre: Discretizzazione ad elementi finiti di un problema di diffusione-trasporto monodimensionale; comportamento della soluzione numerica nel caso di trasporto dominante; analogia con lo schema alle differenze finite con termine del primo ordine approssimato mediante differenze centrate
  
• 13 Novembre: Diffusione-trasporto: upwind e viscosità numerica
  
• 14 Novembre: Laboratorio: Curve d'errore
  
• 19 Novembre: Metodo di Galerkin generalizzato e primo lemma di Strang; equazione del calore: forma forte e forma variazionale
  
• 20 Novembre Problema parabolico: approssimazione di Galerkin in spazio e sua scrittura in termini matriciali; discretizzazione in tempo mediante theta-metodo
  
• 21 Novembre: Laboratorio: Diffusione-trasporto
  
• 26 Novembre: Stime di stabilità; convergenza (prima parte)
  
• 27 Novembre: Convergenza (seconda parte); stabilità del theta-metodo per theta>=1/2
  
• 28 Novembre: Laboratorio: Upwind
  
•   3 Dicembre: Condizione di stabilità per theta<1/2; stime di errore per il problema totalmente discretizzato; introduzione ai metodi numerici per problemi iperbolici
  
•   4 Dicembre: Equazione del trasporto lineare
  
•   5 Dicembre: Laboratorio: Upwind
  
• 10 Dicembre: Differenze finite per il trasporto lineare; flussi numerici; errore di troncamento locale e consistenza
  
• 11 Dicembre: Stabilità e CFL condition
  
• 17 Dicembre: Elementi finiti discontinui per il trasporto lineare; equazione di Burgers
  
• 18 Dicembre: soluzioni deboli, Rankine-Hugoniot condition; differenze finite per leggi di conservazione non lineari (cenni)
  
• 19 Dicembre: : Laboratorio: Equazione del calore