Programma

Il corso ha lo scopo di complementare l'insegnamento di Analisi Numerica per gli studenti del vecchio ordinamento del corso di laurea in Matematica. Verranno pertanto rivisitati alcuni degli argomenti trattati nel corso di Analisi Numerica, con particolare attenzione alla soluzione dei sistemi algebrici lineari e alle equazioni differenziali ordinarie e alle derivate parziali. Elementi di programmazione MATLAB saranno parte integrante del corso.

Argomenti svolti a lezione

• 13 Marzo: Richiami su equazioni alle derivate parziali (PDE); classificazione delle PDE semilineari del secondo ordine a coefficienti costanti; metodi numerici: nozioni di convergenza, consistenza e stabilità


• 14 Marzo: Equazione del calore stazionaria in dimensione 1; unicità della soluzione; rilevamento delle condizioni al bordo; motivazioni per una formulazione debole del problema; H¹(0,1): definizione, seminorma 1 e norma 1


• 19 Marzo: Formulazione forte, formulazione debole e formulazione come problema di minimizzazione; formulazioni variazionali astratte e lemma di Lax-Milgram


• 20 Marzo: Metodo delle differenze finite


• 21 Marzo: Laboratorio: differenze finite per il problema -u''=f con condizioni al bordo di tipo Dirichlet omogeneo


• 27 Marzo: Analisi dell'errore per il metodo delle differenze finite; metodo di Galerkin: definizione, scrittura in forma matriciale, well-posedness, lemma di Céa e convergenza


•   3 Aprile: Definizione di elemento finito e cenni sull'utilizzo dell'elemento di riferimento; metodo degli elementi finiti per il problema -u''=f (elementi P1)


•   4 Aprile: Laboratorio: convergenza del metodo delle differenze finite; condizionamento della matrice di rigidità


•   9 Aprile: cenni sull'uso di elementi P2; stime d'errore in norma dell'energia; stime d'errore in norma L² (argomento di dualità)


• 10 Aprile: discretizzazione ad elementi finiti di un problema di diffusione-trasporto monodimensionale; comportamento della soluzione numerica nel caso di trasporto dominante; analogia con lo schema alle differenze finite con termine del primo ordine approssimato mediante differenze centrate


• 11 Aprile: Laboratorio: differenze finite con condizioni al bordo di tipo Dirichlet non omogeneo; elementi finiti lineari per il problema -u''=f


• 17 Aprile: diffusione-trasporto: upwind e viscosità numerica; metodo di Galerkin generalizzato e primo lemma di Strang


• 18 Aprile: equazione del calore: approssimazione di Galerkin in spazio e sua scrittura in termini matriciali; discretizzazione in tempo mediante theta-metodo; analisi di stabilità del theta-metodo


• 30 Aprile: equazioni differenziali ordinarie: richiami sui metodi a un passo; introduzione ai metodi multistep lineari; metodi di Adams-Bashforth e Adams-Moulton


•   2 Maggio : Laboratorio: diffusione-trasporto


•   8 Maggio : metodi BDF; zero-stabilità e condizione delle radici; errore di troncamento e consistenza


•   9 Maggio : ordine dell'errore di troncamento; convergenza e teorema di Dahlquist; ordine massimo di un metodo multistep lineare zero-stabile (barriera di Dahlquist); assoluta stabiltà, A-stabilità, A(theta)-stabilità


• 13 Maggio : metodi predictor-corrector; problemi stiff (cenni); storage di matrici sparse: formato CSR


• 14 Maggio : soluzione di sistemi lineari e minimizzazione di funzionali quadratici: richiami sui metodi di discesa a parametro ottimale e metodo del gradiente; metodo dei gradienti coniugati (CG): costruzione delle direzioni coniugate e algoritmo; metodo dei gradienti coniugati con precondizionamento; possibili scelte del precondizionatore: incomplete Cholesky (IC) e SSOR


• 15 Maggio : Laboratorio: CG e ICCG; criteri d'arresto (cenni)