Programma

Il corso, di carattere monografico, si propone di fornire esempi di applicazioni del metodo degli elementi finiti per l'approssimazione numerica di equazioni alle derivate parziali legate a problemi di interesse applicativo. La scelta di tali problemi potrà variare in base agli interessi degli studenti; a titolo di esempio, si potranno trattare problemi di fluidodinamica (equazioni di Navier-Stokes), problemi di elettromagnetismo (equazioni di Maxwell), problemi di elasticità. Per tali problemi si fornirà l'analisi matematica e l'analisi numerica, arrivando a dimostrare in maniera rigorosa la convergenza di alcuni dei metodi di discretizzazione più noti. Parte del corso potrà essere svolta nel laboratorio informatico, dove ci sarà l'occasione di sperimentare in pratica l'implementazione delle tecniche apprese in aula.

Argomenti svolti a lezione

•   3 Marzo: Richiami su equazioni alle derivate parziali (PDE); classificazione delle PDE semilineari del secondo ordine a coefficienti costanti; metodi numerici: nozioni di convergenza, consistenza e stabilità
  
•   5 Marzo: Equazione del calore stazionaria nel caso monodimensionale: unicità della soluzione; rilevamento delle condizioni al bordo; motivazioni per una formulazione debole del problema; H¹(0,1): definizione, seminorma 1 e norma 1; formulazione forte, formulazione debole e formulazione come problema di minimizzazione
  
•   9 Marzo: Formulazioni variazionali astratte e lemma di Lax-Milgram; metodo di Galerkin: definizione e scrittura in forma matriciale
  
• 16 Marzo: Metodo di Galerkin: well-posedness, lemma di Céa e convergenza; definizione di elemento finito
  
• 17 Marzo: Cenni sull'utilizzo dell'elemento di riferimento; metodo degli elementi finiti per il problema -u''=f (elementi P1); cenni sugli elementi P2; condizioni al bordo di tipo Dirichlet non omogeneo e di tipo Neumann
  
• 23 Marzo: Laboratorio: elementi finit per il problema -u''=f con condizioni al bordo di tipo Dirichlet omogeneo
  
• 23 Marzo: Trattamento delle condizioni al bordo di tipo Dirichlet non omogeneo; esattezza nei nodi dell'approssimazione con elementi finiti P1 del problema -u''=f; operatori di interpolazione
  
• 24 Marzo: Lemma di Bramble-Hilbert, lemma di Deny-Lions e stime di interpolazione
  
•   6 Aprile: Laboratorio: condizioni al bordo non omogenee, termine noto generale
  
•   6 Aprile: Stime d'errore per il metodo degli elementi finiti in norma dell'energia e in norma L2 (argomento di dualità); problema di diffusione-trasporto
  
•   7 Aprile: Discretizzazione ad elementi finiti di un problema di diffusione-trasporto monodimensionale; comportamento della soluzione numerica nel caso di trasporto dominante; analogia con lo schema alle differenze finite con termine del primo ordine approssimato mediante differenze centrate
  
• 20 Aprile: Laboratorio: termine noto generale (seguito)
  
• 20 Aprile: Diffusione-trasporto: upwind e viscosità artificiale; Galerkin generalizzato e primo lemma di Strang
  
• 21 Aprile: Stime d'errore per elementi finiti con diffusione artificiale per il problema di diffusione-trasporto; problema di diffusione-reazione con reazione dominante: elementi finiti e tecnica del mass lumping
  
• 27 Aprile: Laboratorio: diffusione-trasporto
  
• 27 Aprile: Equazione del calore: forma forte e forma variazionale; approssimazione di Galerkin in spazio e sua scrittura in termini matriciali; discretizzazione in tempo mediante theta-metodo
  
• 28 Aprile: Stime di stabilità; convergenza
  
•   4 Maggio: Laboratorio: problema parabolico
  
•   4 Maggio: Convergenza (seguito); stabilità del theta-metodo per theta>=1/2
  
•   5 Maggio: Condizione di stabilità per theta<1/2; stime di errore per il problema totalmente discretizzato
  
• 18 Maggio: Laboratorio: problema parabolico
  
• 25 Maggio: Laboratorio: problema parabolico