Programma

Il corso si propone di presentare uno studio teorico del metodo degli elementi finiti, di fornire esempi di sue applicazioni all'approssimazione numerica di equazioni alle derivate parziali legate a problemi di interesse applicativo ed infine di evidenziare i dettagli necessari all'implementazione. Dopo alcuni richiami di analisi funzionale, si introdurrà il metodo degli elementi finiti per un problema di pura diffusione, presentandone sia l'analisi teorica di stabilità e d'errore che gli strumenti per la sua implementazione. Si procederà quindi con lo studio di approssimazioni mediante elementi finiti di problemi in formulazione variazionale mista, con applicazione al problema di Stokes e al problema di Darcy. Il corso potrà poi proseguire, secondo gli interessi degli studenti, presentando altre applicazioni del metodo degli elementi finiti a problemi di fluidodinamica, di elettromagnetismo o di elasticità, oppure studiando metodi agli elementi finiti non standard (elementi finiti discontinui), oppure approfondendo gli aspetti implementativi in laboratorio informatico (a.a. 2006/07: laboratorio informatico).

Argomenti svolti a lezione

•   8 marzo: Elementi di analisi funzionale: spazi di funzioni continue, spazi di funzioni integrabili, distribuzioni e derivate distribuzionali (2h)
  
• 12 marzo: Elementi di analisi funzionale: spazi di Sobolev, disuguaglianza di Friedrichs-Poincaré (2h)
  
• 15 marzo: Equazioni alle derivate parziali: classificazione di equazioni alle derivate parziali semilineari del secondo ordine; problemi ellittici del secondo ordine e soluzioni deboli; lemma di Lax-Milgram; applicazione del lemma di Lax-Milgram a formulazioni variazionali di problemi ellittici; caso simmetrico: equivalenza problema variazionale e minimizzazione del funzionale dell'energia (3h)
  
• 19 marzo: Metodo di Galerkin: definizione e studio teorico (lemma di Céa); caso simmetrico:best-fit; metodo di Galerkin generalizzato: studio teorico (primo lemma di Strang) (2h)
  
• 22 marzo: Definizione di elemento finito; triangolazioni, spazi di funzioni polinomiali a tratti e gradi di libertà; matrici di stiffness e termini noti elementari per discretizzazione mediante elementi finiti lineari del problema di Poisson (3h)
  
• 26 marzo: Strutture dati per reticolazioni; assemblaggio matrice di stiffness e termine noto globali; imposizione delle condizioni al bordo di tipo Dirichlet (2h)
  
• 29 marzo: Laboratorio 1: lettura e utilizzo dati relativi alle reticolazioni (3h)
  
•   2 aprile: Operatori di interpolazione; lemma di Bramble-Hilbert, lemma di Deny-Lions (2h)
  
• 12 aprile: Laboratorio 2: shape functions, struttura codice (3h)
  
• 16 aprile: Stime d'errore per il metodo degli elementi finiti in norma dell'energia e in norma L2 (2h)
  
• 19 aprile: Condizionamento della matrice di stiffness (caso simmetrico); problemi di punto sella e formulazioni variazionali miste; analisi teorica di problemi misti (3h)
  
• 23 aprile: Analisi teorica di problemi misti (seguito); discretizzazione con elementi finiti: formulazione, forma matriciale, condizioni per esistenza, unicità della soluzione e dipendenza continua dai dati (ellitticità sul nucleo discreto, inf-sup discreta) (2h)
  
• 26 aprile: Laboratorio 3: assemblaggio e soluzione sistema lineare (3h)
  
•   3 maggio: Laboratorio (autodidattica); curve d'errore (3h)
  
•   7 maggio: Analisi dell'errore; verifica della inf-sup discreta: operatore di Fortin (2h)
  
• 10 maggio: Analisi di stabilità dell'elemento P2-P0; P2-P0 modificato, Q2-Q0, Q2-Q0 modificato, "serendipity"; modi spuri di pressione (Q1-P0 e P1-P0) (3h)
  
• 14 maggio: L'elemento Q1-P0: modi spuri di pressione; analisi di stabilità dell'elemento di Crouzeix-Raviart (2h)
  
• 17 maggio: Laboratorio 4: elementi finiti di grado 2 (3h)
  
• 21 maggio: Analisi di stabilità dell'elemento di Crouzeix-Raviart (conclusione); l'elemento MINI; discretizzazioni ad elementi finiti del problema di Darcy: elementi di Raviart-Thomas di ordine basso (2h)
  
• 24 maggio: Trasformazione di Piola; elementi di Raviart-Thomas di ordine elevato; studio dell'elemento RT-P0 per il Laplaciano misto (3h)
  
• 28 maggio: Cenni su assemblaggio matrice dei vincoli per RT-P0 per il Laplaciano misto; cenni su implementazione di metodi iterativi per la soluzione del sistema lineare algebrico risultante da metodi agli elementi finiti; equazione del calore: semidiscretizzazione spaziale (2h)
  
• 31 maggio: Equazione del calore: theta-metodo per l'avanzamento temporale; studio della stabilità del theta-metodo (3h)
  
•   4 giugno: Laboratorio: problema parabolico (2h)