ELEMENTI FINITI (2024/25)
Corso di Laurea Magistrale in Matematica
Docenti
- Giancarlo Sangalli
- Ivan Bioli
Informazioni sul corso
Diario delle lezioni e programma d'esame
- 27 febbraio 2025, E9, GS+ IB
introduzione al
corso; nozioni essenziali sugli spazi di Sobolev (tracce in H1);
- 3 marzo 2025, **LEZIONE SOSPESA** Gli Studenti sono invitati
ad installare Julia sul laptop personale (chi ne fa uso) e a
seguire il tutorial introduttivo online di JuliaAcademy, seguendo
queste indicazioni
- 5 marzo 2025, Lab didattico, GS
formulazione variazionale del
problema di Poisson e buona posizione (applicando il lemma di Lax-Milgram);
- 6 marzo 2025, Lab informatico, IB + GS
Primi Passi con
Julia, parte II
- 10 marzo 2025, Lab didattico, GS
lemma di Céa nel caso
generale (forma non necessariamente simmetrica) e caso simmetrico, con
dimostrazione; triangolazione e sue
proprietà: ammissibilità e shape regularity; derivata in senso
debole (ripasso di quanto visto in analisi funzionale);
- 12 marzo 2025, Lab didattico, GS
condizioni di
raccordo per funzioni C∞ a tratti: v ∈
H1 ⇔ v ∈ C0 ; dimensione dello spazio dei
polinomi (con dimostrazione), definizione dei punti di interpolazione sul triangolo
(con dimostrazione dell'unisolvenza), definizione di elemento
finito (K,P,N), elementi finiti affini, elementi finiti continui:
Pk(Th) e
Pkdisc(Th);
- 13 marzo 2025, E9, GS
dimensione dello spazio dei
polinomi (con dimostrazione), definizione dei punti di interpolazione sul triangolo
(con dimostrazione dell'unisolvenza), definizione di elemento
finito (K,P,N), elementi finiti affini,
Pk(Th) e Pkdisc(Th);
- 17 marzo 2025, Lab informatico, GS + IB
Triangolazione
- 19 marzo 2025, Lab didattico, GS + IB
Elementi finiti C1
(triangolo di Argyris, e` argomento d'esame) ed isoparametrici
(Q1 e
P2)
- 20 marzo 2025, E9, GS
equivalenza tra norma di
Hk+1/Pk e seminorma Hk+1 (Deny-Lions) con dimostrazione
- 24 marzo 2025, Lab didattico, GS
stime sulla seminorma
Hk per cambio affine di
variabile nella (scaling argument), e stima della norma del gradiente
della trasformazione affine in termini di h e ρ (con dimostrazione)
- 26 marzo 2025, Lab didattico, GS
teorema di Bramble-Hilbert (con dimostrazione)
- 27 marzo 2025, E9, GS
applicazione di Bramble-Hilbert all'interpolatore ΠT
per polinomi di grado k sull'elemento triangolare T
- 31 marzo 2025, Lab didattico, IB + GS
Assemblaggio del sistema lineare del metodo elementi finiti
- 2 aprile 2025, Lab didattico, IB + GS
Test numerici per
FEM applicato al problema di Poisson con condizioni di Dirichlet omogenee
- 3 aprile 2025, E9, GS
stima dell'errore per il metodo di
Galerkin, problema di Poisson, in norma L2 (Aubin-Nitsche) con
dimostrazione
- 7 aprile 2025, Lab didattico, GS
I lemma di Strang (con
dimostrazione) e analisi dell errore di quadratura per elementi
lineari, con dimostrazione;
- 9 aprile 2025, Lab didattico, GS
II lemma di Strang (con
dimostrazione) e analisi dell errore di
approssimazione del dominio con elementi triangolari, con
dimostrazione;
- 10 aprile 2025, Lab informatico, GS
revisione del codice Julia
- 14 aprile 2025, Lab didattico, GS
analisi dell errore di
approssimazione del dominio con elementi triangolari, con
dimostrazione;
- 16 aprile 2025, Lab didattico, GS
revisione del codice Julia
- 17 aprile 2025, Lab informatico, GS
revisione del codice Julia
- 28 aprile 2025, Lab didattico, GS
Imposizione delle
condizioni al Bordo di Dirichlet: caso omogeneo, non-omogeneo, e
formulazione del metodo di Nitsche
- 30 aprile 2025, Lab didattico, IB + GS
imposizione delle
condizioni al bordo di Dirichlet in Julia
- 5 maggio 2025, Lab didattico, IB
testing numerico del
codice Julia per il problema di Poisson
- 7 maggio 2025, Lab didattico, GS
disuguaglianze inverse e
analisi dell'errore del metodo di stima di errore del metodo
di Nitsche: consistenza (con dimostrazione)
- 8 maggio 2025, Lab didattico, GS
analisi dell'errore del
metodo di stima di errore del metodo di Nitsche: coercività
(con dimostrazione)
- 12 maggio 2025, Lab didattico, GS
implementazione delle
condizioni di Neumann per il problema di Poisson
- 14 maggio 2025, Lab didattico, GS
il problema di
diffusione-trasporto, parte I: introduzione e analisi del metodo di
Galerkin standard nell'ambito del lemma di Céa
- 15 maggio 2025, E9, GS
il problema di
diffusione-trasporto, parte II: descrizione dei metodi NCAD
(diffusione artificiale non-consistente), NCSD (diffusione streamline
non consistente) e SUPG (streamline-upwind Petrov-Galerkin)
- 19 maggio 2025 **ore 16:30**, Lab didattico, GS
il problema di
diffusione-trasporto, parte III: stima dell'errore (con dimostrazione)
per SUPG.
- 21 maggio 2025, Lab didattico, GS
Julia: implementazione dei
metodi NCAD, NCSD e SUPG e test numerici; teoria: il problema di Darcy e la sua
formulazione variazionale;
- 22 maggio 2025, **LEZIONE SOSPESA** per giornata LM+
(ricevimento studenti su richiesta)
- 26 maggio 2025, Lab didattico, GS
(ker (O))° = Im (O*) e
inf-sup condition (lemmi con relative dimostrazioni);
- 28 maggio 2025, Lab didattico, GS
buona posizione del
problema variazionale misto e verifica delle ipotesi per il problema
di Darcy
- 29 maggio 2025, E9, GS
dimostrazione della
quasi-ottimalità per il metodo elementi finiti misto
- 4 giugno 2025, Lab didattico, GS
RTk, definizione, proprietà e gradi di
libertà (con dimostrazioni)
- 5 giugno 2025, E9, GS
considerazioni finali sul metodo FEM
RTk-Pkdisc per Darcy
- 9 giugno 2025, Lab didattico, IB
implementazione del FEM
con elementi RT0-P0disc
Metodi elementi finiti implementati in linguaggio Julia durante
eqwil corso
- Solutore del problema bidimensionale di Poisson con elementi P1;
- Solutore del problema bidimensionale di diffusione-trasporto con condizioni
al bordo di Dirichlet, elementi P0, stabilizzazione di tipo SUPG;
- Solutore del problema bidimensionale di Darcy con elementi
finiti misti RT0 x P0disc. (codice
da completare facoltativamente a cura degli studenti)
Regole per l'esame
- L'esame consiste in una prova orale su tutti gli argomenti svolti a
lezione (si veda il "Diario delle
lezioni e programma d'esame" esposto qui sopra) e durante il laboratorio di programmazione. Il giorno
dell'orale e` di norma concordato via e-mail anche al di fuori del
calendario ufficiale. Per quanto riguarda la sessione estiva 2025,
alcune possibili date (se prenotate con sufficiente anticipo) sono:
16-18 giugno; 30 giugno e 1-18 luglio; 15-19 luglio; 8-12 e
18-19 e 24-26 settembre.
Riferimenti bibliografici
- appunti presi durante le lezioni (appunti del docente
disponibili su Kiro)
- Finite elements: Theory, fast solvers, and applications in solid mechanics,
di D Braess - 2007 - Cambridge University Press;
- The finite element method for elliptic problems PG Ciarlet -
2002 - SIAM;
2013 - Springer.
- Numerical approximation of partial differential equations, di A
Quarteroni, A Valli - 2008 - Springer;
- Mixed finite element methods and applications, di D Boffi, F Brezzi, M Fortin -
- The mathematical theory of finite element methods, di S
Brenner, R Scott - 2007 - Springer;
- R.G. Durán. Mixed Finite Element Methods. In D. Boffi, F. Brezzi,
L.F. Demkowicz, R.G. Durán, R.S. Falk, M. Fortin,
Mixed finite elements, compatibility conditions, and applications.
Lectures given at the C.I.M.E. Summer School held in Cetraro, June 26-July 1,
2006. Edited by D. Boffi and L. Gastaldi. Lecture Notes in Mathematics, 1939.
Springer-Verlag, Berlin (2008). Il testo pdf si trova al seguente
link
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