ELEMENTI FINITI (2025/26)
Corso di Laurea Magistrale in Matematica
Docenti
- Giancarlo Sangalli
- Monica Montardini
- Ivan Bioli
Informazioni sul corso
Diario delle lezioni e programma d'esame
- 4 marzo 2026, GS
introduzione al
corso; nozioni essenziali sugli spazi di Sobolev (tracce in H1);
- 5 marzo 2026, GS
formulazione variazionale del
problema di Poisson e buona posizione (applicando il lemma di Lax-Milgram);
- 6 marzo 2026, LEZIONE SOSPESA Gli Studenti sono invitati
ad installare Julia sul laptop personale (chi ne fa uso) e a
seguire il tutorial introduttivo online di JuliaAcademy, e seguendo
queste indicazioni
- 11 marzo 2026, GS
lemma di Céa nel caso
generale e caso simmetrico, con
dimostrazione; triangolazione e sue
proprietà: ammissibilità e shape regularity; derivata in senso
debole (ripasso di quanto visto in analisi funzionale);
- 12 marzo 2026, GS
condizioni di
raccordo per funzioni C∞ a tratti: v ∈
H1 ⇔ v ∈ C0; dimensione dello spazio dei
polinomi (con dimostrazione), definizione dei punti di interpolazione sul triangolo
(con dimostrazione dell'unisolvenza), definizione di elemento
finito (K,P,N), elementi finiti affini, elementi finiti continui; Elementi finiti C1
(triangolo di Argyris) ed isoparametrici
- 13 marzo 2026, GS
Teorema di Deny-Lions: equivalenza tra norma di
Hk+1/Pk e seminorma Hk+1 (con dimostrazione)
- 18 marzo 2026, GS
stime sulla seminorma
Hk per cambio affine di
variabile nella (scaling argument), e stima della norma del gradiente
della trasformazione affine in termini di h e ρ (con dimostrazione)
- 19 marzo 2026, GS
teorema di Bramble-Hilbert (con dimostrazione)
- 20 marzo 2026, GS
applicazione di Bramble-Hilbert all'interpolatore ΠT
per polinomi di grado k sull'elemento triangolare T, e quindi
all'interpolatore globale Πh sulla triangolazione
- 25 marzo 2026, GS
Aubin-Nitsche: stima dell'errore in norma L2
per il metodo di Galerkin/FEM applicato al problema di Poisson (con
dimostrazione)
- 26 marzo 2026, GS+IB
I lemma di Strang (con
dimostrazione) e analisi dell errore di quadratura per elementi
lineari, con dimostrazione;
- 1 aprile 2026, GS+IB
Julia; Struttura dati per la
triangolazione e quadratura
- 8 aprile 2026, GS
Imposizione delle
condizioni al Bordo di Dirichlet: caso omogeneo, non-omogeneo, e
formulazione del metodo di Nitsche
- 9 aprile 2026, GS
disuguaglianze inverse e
analisi dell'errore del metodo di stima di errore del metodo
di Nitsche: consistenza (con dimostrazione)
- 10 aprile 2026, GS+IB
Julia - Assemblaggio del sistema
lineare del metodo elementi finiti
- 15 aprile 2026, GS
Analisi dell'errore del metodo di Nitsche: coercività
(con dimostrazione)
- 16 aprile 2026, GS
Il problema di
diffusione-trasporto, parte I: introduzione e analisi del metodo di
Galerkin standard nell'ambito del lemma di Céa
- 17 aprile 2026, GS+IB
il problema di
diffusione-trasporto, parte II: descrizione dei metodi NCAD
(diffusione artificiale non-consistente), NCSD (diffusione streamline
non consistente) e SUPG (streamline-upwind Petrov-Galerkin); e un po'
di Julia
- 22 aprile 2026, GS+IB
Julia - primi tests per Poisson
- 23 aprile 2026, MM
il problema di
diffusione-trasporto, parte III: stima dell'errore (con dimostrazione)
per SUPG
- 24 aprile 2026, MM+IB
il problema di diffusione trasporto
in Julia
- 29 aprile 2026, GS+IB
Julia - condizioni al bordo per Poisson
- 30 aprile 2026, GS
il problema di Darcy e la sua
formulazione variazionale (ker (O))° = Im (O*)
- 6 maggio 2026, GS
Lemma della inf-sup condition (lemmi con relative dimostrazioni)
- 7 maggio 2026, GS+MM
dimostrazione della buona posizione del problema variazionale misto astratto, e introduzione agli elementi RTk
- 8 maggio 2026, GS+IB
Julia - diffusione e trasporto
- 13 maggio 2026, GS
quasi-ottimalità per il metodo elementi finiti misto
- 14 maggio 2026, GS
RTk, proprietà e gradi di
libertà (con dimostrazioni)
- 15 maggio 2026, LEZIONE in E9 GS
considerazioni finali sul metodo FEM
RTk-Pkdisc per Darcy
- 20 maggio 2026, MM+IB
Julia - RT0
- 21 maggio 2026, MM
TBA
- 22 maggio 2026, LEZIONE in Aula Beltrami MM
TBA
- 27 maggio 2026, LEZIONE cancellata
- 28 maggio 2026, MM
TBA
- 29 maggio 2026, GS
- 3 giugno 2026, GS
- 4 giugno 2026, GS
- 5 giugno 2026, GS
- 10 giugno 2026, GS+IB
- 11 giugno 2026, GS+IB
Metodi elementi finiti implementati in linguaggio Julia durante
il corso
- Solutore del problema bidimensionale di Poisson con elementi P1;
- Solutore del problema bidimensionale di diffusione-trasporto con condizioni
al bordo di Dirichlet, elementi P0, stabilizzazione di tipo SUPG;
- Solutore del problema bidimensionale di Darcy con elementi
finiti misti RT0 x P0disc. (codice
da completare facoltativamente a cura degli studenti)
Regole per l'esame
- L'esame consiste in una prova orale su tutti gli argomenti svolti a
lezione (si veda il "Diario delle
lezioni e programma d'esame" esposto qui sopra) e durante il laboratorio di programmazione. Il giorno
dell'orale e` di norma concordato via e-mail anche al di fuori del
calendario ufficiale. Per quanto riguarda la sessione estiva 2026,
alcune possibili date (se prenotate con sufficiente anticipo) sono:
TBA
Riferimenti bibliografici
- Appunti presi durante le lezioni e materiale del docente disponibile su Kiro.
A. Quarteroni e A. Valli, Numerical Approximation of Partial Differential Equations,
Springer, 2008.
- D. Boffi, F. Brezzi e M. Fortin, Mixed Finite Element Methods and Applications,
Springer, 2013.
- S. C. Brenner e L. R. Scott, The Mathematical Theory of Finite Element Methods,
Springer, 2008.
- R. G. Durán, Mixed Finite Element Methods, in D. Boffi, F. Brezzi,
L. F. Demkowicz, R. G. Durán, R. S. Falk e M. Fortin,
Mixed Finite Elements, Compatibility Conditions, and Applications,
Lecture Notes in Mathematics, vol. 1939, Springer, 2008.
Il testo pdf è disponibile a questo
link.