ELEMENTI FINITI (2025/26)
Corso di Laurea Magistrale in Matematica
Docenti
- Giancarlo Sangalli
- Ivan Bioli
Informazioni sul corso
Diario delle lezioni e programma d'esame
- 4 marzo 2026, GS
introduzione al
corso; nozioni essenziali sugli spazi di Sobolev (tracce in H1);
- 5 marzo 2026, GS
formulazione variazionale del
problema di Poisson e buona posizione (applicando il lemma di Lax-Milgram);
- 6 marzo 2026, **LEZIONE SOSPESA** Gli Studenti sono invitati
ad installare Julia sul laptop personale (chi ne fa uso) e a
seguire il tutorial introduttivo online di JuliaAcademy, e seguendo
queste indicazioni
- 11 marzo 2026, GS
lemma di Céa nel caso
generale e caso simmetrico, con
dimostrazione; triangolazione e sue
proprietà: ammissibilità e shape regularity; derivata in senso
debole (ripasso di quanto visto in analisi funzionale);
- 12 marzo 2026, GS
condizioni di
raccordo per funzioni C∞ a tratti: v ∈
H1 ⇔ v ∈ C0; dimensione dello spazio dei
polinomi (con dimostrazione), definizione dei punti di interpolazione sul triangolo
(con dimostrazione dell'unisolvenza), definizione di elemento
finito (K,P,N), elementi finiti affini, elementi finiti continui; Elementi finiti C1
(triangolo di Argyris) ed isoparametrici
- 13 marzo 2026, GS
equivalenza tra norma di
Hk+1/Pk e seminorma Hk+1 (Deny-Lions) con dimostrazione
- 18 marzo 2026, GS
stime sulla seminorma
Hk per cambio affine di
variabile nella (scaling argument), e stima della norma del gradiente
della trasformazione affine in termini di h e ρ (con dimostrazione)
- 19 marzo 2026, GS
teorema di Bramble-Hilbert (con dimostrazione)
- 20 marzo 2026, GS
applicazione di Bramble-Hilbert all'interpolatore ΠT
per polinomi di grado k sull'elemento triangolare T
- 25 marzo 2026, GS
stima dell'errore per il metodo di
Galerkin/FEM, problema di Poisson, in norma L2 (Aubin-Nitsche) con
dimostrazione
- 26 marzo 2026, GS+IB
I lemma di Strang (con
dimostrazione) e analisi dell errore di quadratura per elementi
lineari, con dimostrazione;
- 27 marzo 2026, GS+IB
Julia; Assemblaggio del sistema lineare del metodo elementi finiti
Metodi elementi finiti implementati in linguaggio Julia durante
eqwil corso
- Solutore del problema bidimensionale di Poisson con elementi P1;
- Solutore del problema bidimensionale di diffusione-trasporto con condizioni
al bordo di Dirichlet, elementi P0, stabilizzazione di tipo SUPG;
- Solutore del problema bidimensionale di Darcy con elementi
finiti misti RT0 x P0disc. (codice
da completare facoltativamente a cura degli studenti)
Regole per l'esame
- L'esame consiste in una prova orale su tutti gli argomenti svolti a
lezione (si veda il "Diario delle
lezioni e programma d'esame" esposto qui sopra) e durante il laboratorio di programmazione. Il giorno
dell'orale e` di norma concordato via e-mail anche al di fuori del
calendario ufficiale. Per quanto riguarda la sessione estiva 2026,
alcune possibili date (se prenotate con sufficiente anticipo) sono:
TBA
Riferimenti bibliografici
- appunti presi durante le lezioni (appunti del docente
disponibili su Kiro)
- Finite elements: Theory, fast solvers, and applications in solid mechanics,
di D Braess - 2007 - Cambridge University Press;
- The finite element method for elliptic problems PG Ciarlet -
2002 - SIAM;
2013 - Springer.
- Numerical approximation of partial differential equations, di A
Quarteroni, A Valli - 2008 - Springer;
- Mixed finite element methods and applications, di D Boffi, F Brezzi, M Fortin -
- The mathematical theory of finite element methods, di S
Brenner, R Scott - 2007 - Springer;
- R.G. Durán. Mixed Finite Element Methods. In D. Boffi, F. Brezzi,
L.F. Demkowicz, R.G. Durán, R.S. Falk, M. Fortin,
Mixed finite elements, compatibility conditions, and applications.
Lectures given at the C.I.M.E. Summer School held in Cetraro, June 26-July 1,
2006. Edited by D. Boffi and L. Gastaldi. Lecture Notes in Mathematics, 1939.
Springer-Verlag, Berlin (2008). Il testo pdf si trova al seguente
link
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