ELEMENTI FINITI (2021-22)

Corso di Laurea Magistrale in Matematica


Docenti

  • Giancarlo Sangalli (GS) , Monica Montardini (MM)

Informazioni sul corso

Diario delle lezioni e programma d'esame

  • 3 marzo 2022, E9, GS
    introduzione al corso; cenni alla derivata nel senso delle distribuzioni e nozioni essenziali sugli spazi di Sobolev (tracce in H1);
  • 4 marzo 2022, E9, GS
    formulazione variazionale del problema di Poisson e buona posizione (Lax-Milgram); lemma di Cea nel caso simmetrico e non simmetrico (con dimostrazione);
  • 7 marzo 2022, E9, GS
    triangolazione e condizioni di raccordo per funzioni C a tratti: v ∈ H1 ⇔ v ∈ C0 (con dimostrazione)
  • 10 marzo 2022, E9, GS
    dimensione dello spazio dei polinomi, definizione dei punti di interpolazione sul triangolo (con dimostrazione dell'unisolvenza), definizione di elemento finito (K,P,N)
  • 11 marzo 2022, E9, GS
    elementi finiti affini, triangolo di Argyris e unisolvenza dei gradi di libertà (con dimostrazione), elementi isoparametri
  • 14 marzo 2022, Lab. informatico , GS+MM
    triangolazione e quadratura, in matlab
  • 17 marzo 2022, E9, GS
    elementi isoparametrici
  • 18 marzo 2022, E9, GS
    equivalenza tra norma di Hk+1/Pk e seminorma Hk+1 (Deny-Lions) con dimostrazione.
  • 21 marzo 2022, Lab. informatico , GS+MM
    test numerici di convergenza delle formule di quadratura
  • 24 marzo 2022, E9, GS
    stime per il cambio affine di variabile nella la seminorma Hk (scaling argument), con dimostrazione.
  • 25 marzo 2022, E9, GS
    stima della norma del gradiente della trasformazione affine in termini di h e ρ (con dimostrazione) e teorema di Bramble Hilbert (con dimostrazione) con la sua applicazione al caso dell'interpolatore ΠT di grado k sull'elemento triangolare T
  • 28 marzo 2022, Lab. informatico , GS+MM
    assemblaggio della "matrice di rigidezza"
  • 31 marzo 2022, Lab. informatico , GS+MM
    prime prove numeriche per il metodo elementi finiti: Poisson omogeneo
  • 1 aprile 2022, E9, GS
    stima dell'errore per il metodo di Galerkin, caso Poisson, in norma L2 (Aubin-Nitsche) con dimostrazione;
  • 4 aprile 2022, Lab. informatico , GS
    prove numeriche per il metodo elementi finiti: Poisson non omogeneo e condizioni di Neumann
  • 7 aprile 2022, E9, GS
    I lemma di Strang (con dimostrazione) e analisi dell errore di quadratura per elementi lineari, con dimostrazione;
  • 8 aprile 2022, E9, GS
    II lemma di Strang (con dimostrazione) e analisi analisi dell errore di approssimazione del dominio con elementi triangolari, con dimostrazione;
  • 11 aprile 2022, Lab. informatico , GS
    ancora prove numeriche per il metodo elementi finiti: Poisson con condizioni al bordo generali
  • 21 aprile 2022, E9, GS
    metodo di Nitsche per l'imposizione debole della condizione di Dirichlet
  • 22 aprile 2022, E9, GS
    stima di errore (con dimostrazione) per il metodo di Nitsche
  • 28 aprile 2022, E9, GS
    il problema di diffusione-trasporto, parte I: introduzione al problema e comportamento della soluzione
  • 29 aprile 2022, E9, GS
    il problema di diffusione-trasporto, parte II: descrizione dei metodi NCAD (diffusione artificiale non-consistente), NCSD (diffusione streamline non consistente) e SUPG (streamline-upwind Petrov-Galerkin)
  • 2 maggio 2022, Lab. informatico , GS
    prove numeriche per il metodo elementi finiti: diffusione-trasporto
  • 5 maggio 2022, E9, GS
    il problema di diffusione-trasporto, parte III: stima dell'errore (con dimostrazione)
  • 9 maggio 2022, Lab. informatico , GS
    prove numeriche per il metodo elementi finiti: diffusione-trasporto parte II
  • 12 maggio 2022, E9, GS
    il problema di Darcy e la sua formulazione variazionale
  • 13 maggio 2022, E9, GS
    lemmi: (ker (O))° = Im (O*) e inf-sup condition (con dimostrazioni)
  • 16 maggio 2022, E9, GS
    buona posizione del problema variazionale misto (con dimostrazione)
  • 19 maggio 2022, E9, GS
    FEM misti, quasi-ottimalità (con dimostrazione)
  • 20 maggio 2022, E9, GS
    RTk, gradi di libertà e dimostrazione delle varie proprietà, parte I
  • 20 maggio 2022, ore 16-18 , Lab. informatico , GS+MM
    assistenza sui codici elementi finiti
  • 23 maggio 2022, Lab. informatico , GS + MM
    prove numeriche per il metodo elementi finiti misto: Darcy con i RT0 x P0
  • 26 maggio 2022, E9, GS
    RTk, gradi di libertà e dimostrazione delle varie proprietà, parte II
  • 27 maggio 2022, Lab. informatico , ( GS +) MM
    prove numeriche per il metodo elementi finiti misto: Darcy con i RT0 x P0
  • 27 maggio 2022, ore 16-18 , Lab. informatico , GS + MM
    assistenza sui codici elementi finiti
  • 30 maggio 2022, E9, GS
    buona posizione del problema di Darcy discretizzato con RTk x Pk (con dimostrazione)

    Metodi elementi finiti implementati in linguaggio MATLAB durante il corso

    • Solutore del problema bidimensionale di Poisson con condizioni al bordo miste (Dirichlet/Neumann) ed elementi P1;
    • Solutore del problema bidimensionale di diffusione-trasporto con condizioni al bordo di Dirichlet, elementi P1, stabilizzazione di tipo SUPG;
    • Solutore del problema bidimensionale di Darcy con condizioni al bordo omogenee, elementi finiti misti RT0-P0.

    Regole per l'esame

    • L'esame consiste in una prova orale su tutti gli argomenti svolti a lezione e durante il laboratorio di programmazione.

    Alcuni appunti riguardanti le esercitazioni svolte durante il laboratorio di programmazione

    • Qualche appunto manoscritto (in continua evoluzione) disponibile su Google Drive.

    Un possibile triangolatore in linguaggio MATLAB

    Riferimenti bibliografici

    • appunti presi durante le lezioni (si veda anche su Google Drive)
    • Finite elements: Theory, fast solvers, and applications in solid mechanics, di D Braess - 2007 - Cambridge University Press;
    • The finite element method for elliptic problems PG Ciarlet - 2002 - SIAM; 2013 - Springer.
    • Numerical approximation of partial differential equations, di A Quarteroni, A Valli - 2008 - Springer;
    • Mixed finite element methods and applications, di D Boffi, F Brezzi, M Fortin -
    • The mathematical theory of finite element methods, di S Brenner, R Scott - 2007 - Springer;
    • R.G. Durán. Mixed Finite Element Methods. In D. Boffi, F. Brezzi, L.F. Demkowicz, R.G. Durán, R.S. Falk, M. Fortin, Mixed finite elements, compatibility conditions, and applications. Lectures given at the C.I.M.E. Summer School held in Cetraro, June 26-July 1, 2006. Edited by D. Boffi and L. Gastaldi. Lecture Notes in Mathematics, 1939. Springer-Verlag, Berlin (2008). Il testo pdf si trova al seguente link

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