ELEMENTI FINITI (2024/25)

Corso di Laurea Magistrale in Matematica

Docenti

• Giancarlo Sangalli
• Ivan Bioli

Informazioni sul corso

• Orario e aule
• Repository di codice Julia e materiale relativo alle esercitazioni del corso

Diario delle lezioni e programma d'esame

• 27 febbraio 2025, E9, GS+ IB
  introduzione al corso; nozioni essenziali sugli spazi di Sobolev (tracce in H¹);
• 3 marzo 2025, --, LEZIONE SOSPESA. Gli Studenti sono invitati ad installare Julia sul laptop personale (chi ne fa uso) e a seguire il tutorial introduttivo online di JuliaAcademy, seguendo queste indicazioni
• 5 marzo 2025, Lab didattico, GS
  formulazione variazionale del problema di Poisson e buona posizione (applicando il lemma di Lax-Milgram);
• 6 marzo 2025, Lab informatico, IB + GS
  Primi Passi con Julia, parte II
• 10 marzo 2025, Lab didattico, GS
  lemma di Céa nel caso generale (a non necessariamente simmetrica) e caso simmetrico, con dimostrazione; triangolazione e sue proprietà: ammissibilità e shape regularity; derivata in senso debole (ripasso di quanto visto in analisi funzionale);
• 12 marzo 2025, Lab didattico, GS
  condizioni di raccordo per funzioni C^∞ a tratti: v ∈ H¹ ⇔ v ∈ C⁰ ; dimensione dello spazio dei polinomi (con dimostrazione), definizione dei punti di interpolazione sul triangolo (con dimostrazione dell'unisolvenza), definizione di elemento finito (K,P,N), elementi finiti affini, elementi finiti continui: P_k(T_h) e P_k^disc(T_h);
• 13 marzo 2025, E9, GS
  dimensione dello spazio dei polinomi (con dimostrazione), definizione dei punti di interpolazione sul triangolo (con dimostrazione dell'unisolvenza), definizione di elemento finito (K,P,N), elementi finiti affini, P_k(T_h) e P_k^disc(T_h);
• 17 marzo 2025, Lab informatico, GS + IB
  Triangolazione
• 19 marzo 2025, Lab didattico, GS + IB
  Elementi finiti C¹ (triangolo di Argyris, e` argomento d'esame) ed isoparametrici (Q₁ e P₂)
• 20 marzo 2025, E9, GS
  equivalenza tra norma di H^k+1/P_k e seminorma H^k+1 (Deny-Lions) con dimostrazione
• 24 marzo 2025, Lab didattico, GS
  stime sulla seminorma H^k per cambio affine di variabile nella (scaling argument), e stima della norma del gradiente della trasformazione affine in termini di h e ρ (con dimostrazione)
• 26 marzo 2025, Lab didattico, GS
  teorema di Bramble-Hilbert (con dimostrazione)
• 27 marzo 2025, E9, GS
  applicazione di Bramble-Hilbert all'interpolatore Π_T per polinomi di grado k sull'elemento triangolare T
• 31 marzo 2025, Lab informatico, IB + GS
  Assemblaggio del sistema lineare del metodo elementi finiti
• 2 aprile 2025, Lab informatico, IB + GS
  Test numerici per FEM applicato al problema di Poisson con condizioni di Dirichlet omogenee
• 3 aprile 2025, E9, GS
  stima dell'errore per il metodo di Galerkin, problema di Poisson, in norma L² (Aubin-Nitsche) con dimostrazione

Metodi elementi finiti implementati in linguaggio Julia durante il corso

• Solutore del problema bidimensionale di Poisson con elementi P1;
• Solutore del problema bidimensionale di Darcy con elementi finiti misti RT₀ x P₀.

Regole per l'esame

• L'esame consiste in una prova orale su tutti gli argomenti svolti a lezione (escluso quanto esplicitamente indicato nel "Diario delle lezioni e programma d'esame" esposto qui sopra) e durante il laboratorio di programmazione. Il giorno dell'orale e` di norma concordato via e-mail anche al di fuori del calendario ufficiale. Per quanto riguarda la sessione estiva 2024, alcune possibili date (se prenotate con sufficiente anticipo) sono: 10-21 giugno; 1-5 luglio; 15-19 luglio; 9-27 settembre.

Riferimenti bibliografici

• appunti presi durante le lezioni (appunti del docente disponibili su Kiro)
• Finite elements: Theory, fast solvers, and applications in solid mechanics, di D Braess - 2007 - Cambridge University Press;
• The finite element method for elliptic problems PG Ciarlet - 2002 - SIAM; 2013 - Springer.
• Numerical approximation of partial differential equations, di A Quarteroni, A Valli - 2008 - Springer;
• Mixed finite element methods and applications, di D Boffi, F Brezzi, M Fortin -
• The mathematical theory of finite element methods, di S Brenner, R Scott - 2007 - Springer;
• R.G. Durán. Mixed Finite Element Methods. In D. Boffi, F. Brezzi, L.F. Demkowicz, R.G. Durán, R.S. Falk, M. Fortin, Mixed finite elements, compatibility conditions, and applications. Lectures given at the C.I.M.E. Summer School held in Cetraro, June 26-July 1, 2006. Edited by D. Boffi and L. Gastaldi. Lecture Notes in Mathematics, 1939. Springer-Verlag, Berlin (2008). Il testo pdf si trova al seguente link