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INDICE

1. Informazioni generali sul corso
2. Modalità d'esame
3. Materiale scaricabile
4. Riassunto degli argomenti trattati a lezione
5. Contatta i docenti e i tutori
6. Risultati degli scritti d'esame

• Docenti:  Maria Grazia Nieri (corso A) e Giulio Schimperna (corso B) per le lezioni; Elisa Tenni (corso A) e Simone Scacchi (corso B) per le esercitazioni; Gabriella Pocalana (corso A), Filippo Riccardi (corso B), Marilena Tosto e Mattia Ratti per il tutorato.
• Orario lezioni:  lunedì e mercoledì ore 11-13 aula A4 (corso A);
  lunedì e mercoledì ore 9-11, aula B4 (corso B). Si segnala che durante il mese di gennaio sono previste 2 ore aggiuntive (probabilmente il venerdì mattina).
• Orario e organizzazione tutorati:  Sono previsti per il 2005/06 tre tipi di tutorato:
  1. tutorato di carattere "collettivo", che si svolgerà il martedì dalle 14 alle 16 a partire dall'11/10 (aula A4 per il gruppo A e aula B4 per il gruppo B). Queste ore, tenute da Gabriella Pocalana (A) e Filippo Riccardi (B), saranno prevalentemente dedicate a rivedere gli argomenti svolti durante le lezioni e a svolgere ulteriori esercizi;
  2. tutorato di carattere "individuale", che sarà tenuto da Marilena Tosto. Queste ore avranno lo scopo principale di fornire chiarimenti o svolgere esercizi "a richiesta" degli studenti. I primi 3 incontri di questo tutorato si svolgeranno in aula E10 venerdì 14/10, in aula C7 venerdì 21/10 e in aula E10 venerdì 28/10, sempre a partire dalle ore 14.15. Il calendario degli incontri successivi sarà comunicato in seguito.
  3. tutorato per studenti lavoratori, che sarà tenuto da Mattia Ratti. Eventuali interessati sono invitati a contattare direttamente il tutore per e-mail.
  Si ricorda che la partecipazione ai tutorati non è obbligatoria. È però fortemente consigliata soprattutto alle persone che ereditano lacune dalla scuola superiore.
• Libro di testo:  Paolo Marcellini, Carlo Sbordone, "Elementi di Analisi Matematica uno", Liguori Editore. La stessa casa editrice pubblica testi di "Esercitazioni di Matematica" (Volume 1, parti prima e seconda) degli stessi autori. Si noti che l'acquisto di tali eserciziari non è richiesto; la referenza è data solo a scopo indicativo.

• Prova scritta: sarà di tipo "tradizionale", ossia saranno dati degli esercizi da svolgere su foglio protocollo. Sarà valutata con voto in trentesimi. Durante la prova scritta sarà consentita la consultazione di libri di testo, appunti, ecc..
• Prova orale: i candidati che avranno riportato nello scritto una votazione maggiore o uguale a 10/30 potranno scegliere tra "orale in forma abbreviata" e "orale tradizionale". In caso di indecisione, il default è la prima opzione. Optare per l'una o l'altra scelta non comporta differenze nei criteri di valutazione. L'orale in forma "tradizionale" consiste in un'interrogazione alla lavagna. L'"orale in forma abbreviata" consiste in un breve compito da svolgersi per iscritto. Tale compito conterrà 3 domande di carattere "teorico" (vedi sotto per maggiori dettagli). Il candidato dovrà rispondere a non più di 2 di queste domande. In questa sede non sarà consentita la consultazione di libri di testo ed appunti. Una volta terminato il compito, il candidato dovrà brevemente discuterlo di fronte alla commissione, che si riserva il diritto di porre ulteriori domande.
• Appelli: per l'Anno Accademico 2005/06 saranno proposti esattamente 4 appelli: due a febbraio, uno a giugno o a luglio, e uno a settembre.
• Ulteriori informazioni: è possibile "congelare" a tempo indeterminato una valutazione positiva riportata all'esame. Non è invece consentito, in caso di esito negativo della prova orale, di "tenere buono" lo scritto: si dovrà ripetere l'intero esame. Non sono previsti "saltappelli": anche in caso di esito disastroso di un appello, ciascuno potrà iscriversi al successivo.
• Ulteriori dettagli sull'orale in forma scritta: nelle domande non saranno esplicitamente richieste le dimostrazioni, neanche quelle svolte a lezione (ma naturalmente, qualora il candidato ricordi una dimostrazione, è invitato a scriverla...). Tuttavia, saranno richieste tutte le definizioni e gli enunciati dei teoremi trattati a lezione, in forma precisa e rigorosa (ossia con le ipotesi e la tesi corrette). Inoltre, si porrà particolare attenzione alla comprensione di tali definizioni; per questo motivo, nella maggior parte delle domande sarà richiesto di fornire esempi o controesempi significativi (molti esempi sono stati introdotti a lezione; si raccomanda dunque di riguardarli e capirli). Infine, sarà esplicitamente richiesto di conoscere il comportamento qualitativo (ossia di sapere disegnare il grafico) delle funzioni elementari introdotte nella prima parte del corso, in dettaglio: funzioni potenza (per tutte le scelte possibili dell'esponente), trigonometriche, esponenziali e logaritmiche (per tutte le scelte possibili della base).

• Programma svolto nell'Anno 2005/06;
• Esercizi su insiemi e funzioni elementari;
• Esercizi sui limiti di successioni;
• Esercizi sui limiti di funzioni;
• Esercizi sul calcolo differenziale;
• Esercizi sugli integrali;
• Dispensa (scritta da Michele Bricchi) sulle serie;
• Dispensa sulle equazioni differenziali;
• Tema d'esame del 24/11/2004: file.pdf;
• Tema d'esame del 10/02/2005: Versione A, Versione B;
• Tema d'esame del 24/02/2005: Versione A, Versione B;
• Tema d'esame del 13/06/2005: Versione A, Versione B;
• Tema d'esame del 05/07/2005: Versione A, Versione B;
• Tema d'esame del 20/09/2005: Versione A, Versione B;
• Tema d'esame del 09/02/2006: Versione A, Versione B;
• Tema d'esame del 23/02/2006: Versione A, Versione B;
• Tema d'esame del 04/07/2006: Versione A, Versione B.
• Tema d'esame del 20/09/2006: Versione A Versione B.

• 05/10/05:  introduzione al corso. Linguaggio matematico: proposizioni e predicati, connettivi logici ("e", "o", "non", "implica", doppia implicazione), quantificatori; negazione di proposizioni; concetto di teorema, dimostrazione diretta e per assurdo. Negazione di proposizioni contenenti un quantificatore.
• 10/10/05:  richiami di teoria degli insiemi. Simboli di intersezione, unione, appartenenza, inclusione, ecc.. Relazioni d'equivalenza e d'ordine, parziale e totale. Esempi vari. Insiemi numerici. Costruzione dei numeri reali (proprietà legate all'addizione, alla moltiplicazione e all'ordinamento). Definizione di massimo e di minimo di un insieme numerico. Esempi.
• 12/10/05:  insiemi limitati; maggioranti e minoranti; estremo superiore. Completezza di R. Unicità del sup. Esistenza dell'elemento separatore come conseguenza dell'assioma di completezza. Rappresentazione dei numeri reali su una retta orientata. Intervalli e relative notazioni. N, Z, Q come sottoinsiemi di R. Esempio di insieme limitato di Q che non ha sup in Q.
• 17/10/05 (esercitazione):  esercizi su insiemi, insiemi numerici, maggioranti, estremo superiore. Funzioni elementari: rette, potenze.
• 19/10/05:  definizione di funzione. Dominio, codominio, immagini, controimmagini. Grafici e loro rappresentazione sul piano cartesiano. Funzioni iniettive, suriettive, biettive e verifica geometrica di queste proprietà. Esempi vari. Definizione di funzione composta.
• 24/10/05 (esercitazione):  funzioni elementari (trigonometriche, esponenziali, logaritmi, valore assoluto); funzioni limitate, massimi, minimi, sup e inf di funzioni.
• 26/10/05:  dominio e calcolo della funzione composta. Funzione inversa. Grafico e proprietà geometriche della funzione inversa. Definizione di successione. Limite (finito) di una successione. Verifica della definizione di limite. Interpretazione geometrica sul piano cartesiano. Unicità del limite (con dimostrazione). Definizione di limite infinito.
• 02/11/05:  intorni; retta reale estesa; definizione ``unificata'' di limite. Interpretazione grafica. Successioni e funzioni limitate. Massimo e minimo, inf e sup di una funzione (o di una successione). Successioni oscillanti. Esempi. Teorema su somme, prodotti, quozienti di limiti. Estensione al caso di limiti infiniti. Forme indeterminate. Teorema della permanenza del segno.
• 07/11/05 (esercitazione):  limiti di successioni; in particolare, forme indeterminate. Teorema dei carabinieri.
• 09/11/05:  successioni monotone e relativo teorema fondamentale. Definizione di limite per funzioni. Vari casi e varie possibili definizioni. Equivalenza delle varie definizioni. Interpretazione geometrica. Unicità del limite. Teoremi su limiti di somme, prodotti, quozienti. Caso con infiniti o con zeri al denominatore. Forme indeterminate. Limiti destri e sinistri. Definizione di funzione continua.
• 14/11/05:  continuità di somme, prodotti, quozienti di funzioni continue. Teorema sul limite e sulla continuità della funzione composta. Dimostrazione. Applicazioni al calcolo dei limiti. Un controesempio. Teorema della permanenza del segno. Teorema degli zeri delle funzioni continue. Idea della dimostrazione.
• 16/11/05:  richiami su massimi e minimi. Teorema di Weierstrass. Teorema dei valori intermedi. Rapporto incrementale. Funzioni monotone. Relazioni tra monotonia e invertibilità di funzioni continue. Definizione di derivata e di funzione derivabile. Interpretazione geometrica: rette secanti e retta tangente. Il caso della derivata infinita.
• 21/11/05 (esercitazione):  limiti di funzioni; funzioni continue.
• 23/11/05:  Alcuni limiti notevoli ((sen x)/x, numero e). Tabella delle derivate delle funzioni elementari (col calcolo esplicito in alcuni casi). Derivate di somme, prodotti, quozienti. Derivata di funzioni composte. Derivata della funzione inversa.
• 28/11/05:  Estremi relativi. Teorema di Fermat. Ricerca degli estremi relativi: osservazioni ed esempi. Teoremi di Rolle e Lagrange. Caratterizzazione delle funzioni monotone e derivabili in un intervallo. Teorema della derivata nulla. Dimostrazioni ed esempi. Derivate successive.
• 30/11/05 (esercitazione):  esercizi "teorici" sul concetto di derivata. Regole di derivazione e calcolo di derivate.
• 12/12/05:  Funzioni concave e convesse. Interpretazione geometrica. Criterio di convessità (solo idea della dimostrazione). Punti di flesso. Ricerca dei punti di flesso. Flessi a tangente orizzontale, verticale, obliqua. Esempi. Criterio della derivata seconda, dimostrazione. Formula di De L'Hopital. Dimostrazione nel caso in cui f e g sono di classe C¹. Estensione alle forme infinito su infinito. Esempi e controesempi (non si applica alle forme infinito meno infinito).
• 14/12/05 (esercitazione):  studi di funzione.
• 16/12/05:  Formula di Taylor. Formula del primo ordine partendo dalla definizione di derivata. Formula di ordine n. Dimostrazione per n=2. Significato geometrico del "resto". Formula di McLaurin. Sviluppi delle funzioni elementari. Definizione di "o piccolo". Applicazione al calcolo dei limiti (esempi). Principio di sostituzione (cenni).
• 19/12/05:  Integrale e area. Approssimazione della funzione f(x)=x tramite funzioni costanti a tratti. Definizione di integrale secondo Riemann. Interpretazione geometrica. Condizione necessaria e sufficiente per l'integrabilità. Una funzione non integrabile: la funzione di Dirichlet. Proprietà dell'integrale definito: additività, linearità. Integrale su intervalli orientati. Proprietà di confronto. Classe delle funzioni integrabili (integrabilità delle funzioni continue e delle funzioni monotone).
• 21/12/05:  Teorema della media, dimostrazione e interpretazione geometrica. Funzione integrale. Teorema di derivazione della funzione integrale, dimostrazione. Definizione di primitiva. Teorema di caratterizzazione delle primitive. Definizione di integrale indefinito. Formula fondamentale del calcolo integrale, dimostrazione. Calcolo degli integrali: costruzione di una "tabella di primitive". Regole di integrazione: integrazione per parti.
• 09/01/06 (esercitazione):  calcolo di limiti di funzioni utilizzando la formula di L'Hopital e la formula di Taylor. Primi esercizi sugli integrali.
• 11/01/06:  regole di integrazione: integrazione per sostituzione. Sostituzioni e cambiamento di variabili: formula dy=f'(x)dx. Esempi vari. Cambio degli estremi di integrazione nel calcolo di integrali definiti col metodo di sostituzione. Sostituzione "inversa" (solo cenni). Serie. Definizione di serie. Somme parziali. Somma di una serie. Carattere di una serie (convergente, divergente, oscillante). Condizione necessaria per la convergenza di una serie. Serie geometrica e suo comportamento. Serie armonica e armonica generalizzata.
• 13/01/06:  serie a termini positivi: teorema fondamentale; criteri del confronto e confronto asintotico, della radice, del rapporto. Modalità d'utilizzo ed esempi. Serie a termini di segno qualunque: criterio della convergenza assoluta e criterio di Leibniz. Convergenza semplice. Serie esponenziale.
• 18/01/06:  ancora sulle serie a termini di segno alterno. Introduzione alle equazioni differenziali ordinarie. Problema di Cauchy. Interpretazione "cinematica". Esistenza "in piccolo" ed "in grande" delle soluzioni. Esplosione in tempi finiti. Risoluzione di un'equazione a variabili separabili.
• 20/01/06 (esercitazione):  esercizi sugli integrali (metodo di sostituzione) e sulle serie (in particolare, a termini positivi).
• 23/01/06:  equazioni lineari del primo ordine a coefficienti variabili: formula risolutiva, esempi, commenti. Equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti: schema del metodo di risoluzione, equazione caratteristica, risoluzione dell'equazione omogenea, risoluzione dell'equazione completa per secondi membri di tipo particolare.
• 25/01/06:  equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti: imposizione delle condizioni iniziali, conclusione, esercizi. Equazioni a variabili separabili: formula risolutiva, esempi, esercizi. Fenomeno dell'"esplosione in tempi finiti" della soluzione. Esercizi sulle serie a termini di segno variabile.
• 27/01/06 (esercitazione):  esercizi di riepilogo, in particolare tratti da temi d'esame. Torna su

• Giulio Schimperna:  telefono 0382/985654, homepage, email.
• Maria Grazia Nieri:  telefono 0382/985641, email.
• Elisa Tenni:  telefono 0382/985610, email.
• Simone Scacchi:  telefono 0382/985612, email.
• Gabriella Pocalana:   email.
• Filippo Riccardi:  email.
• Marilena Tosto:  email.
• Mattia Ratti:  email.

Risultati della prova scritta del 09/2/06: gruppo M-Z.

Risultati (completi) della prova scritta del 20/09/05.

Risultati (parziali) della prova scritta del 05/07/05.

Risultati della prova scritta del 13/06/05.

Risultati parziali della prova scritta del 24/02/05: parte 1, parte 2.

Risultati della prova scritta del 10/02/05.