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Questa pagina web non sarà più aggiornata. Da questo momento tutte le informazioni verranno comunicate nella nuova homepage relativa al corso 2005/06.

1. Novità 2004/05 sul corso e informazioni generali
2. Materiale scaricabile
3. Riassunto degli argomenti trattati nel secondo modulo
4. Riassunto degli argomenti trattati nel primo modulo
5. Contatti

• Per quest'anno il corso sarà tenuto in collaborazione col Prof. Pierluigi Colli.
• Il corso sarà mutuato anche dal Corso di Laurea in Matematica.
• L'orario delle lezioni è il seguente: lunedì 14.15-16 e mercoledì 15.15-17. Tutte le lezioni si terranno in Aula A101 presso il Dipartimento di Fisica.
• La durata del corso sarà di 40 ore (5 crediti) per gli studenti di Fisica, tutte al primo semestre. In linea di massima, le prime 20 di queste saranno tenute da Giulio Schimperna e le successive da Pierluigi Colli. Per gli studenti di Matematica, per i quali il corso vale 7 crediti, è prevista una ulteriore parte monografica di ulteriori 20 ore, che si terrà durante il secondo semestre e sarà (prevalentemente) tenuta da Giulio Schimperna.
• Si prevede di modificare leggermente le modalità d'esame rispetto agli anni precedenti. In particolare, si dovrebbe tenere una prova scritta "veloce" (della durata di circa un'ora) e quindi una prova orale, ove per gli studenti di Matematica è prevista una domanda aggiuntiva sulla parte monografica del corso. Gli studenti di Matematica potranno sostenere la prova scritta alla fine del primo semestre; poi, l'orale si terrà una volta terminato anche il modulo monografico.
• Il programma del primo semestre (matematici + fisici insieme) dovrebbe rispecchiare quanto svolto l'anno passato (vedi la relativa homepage), con l'eccezione della parte su sistemi dinamici dissipativi e attrattori. Quest'ultima, opportunamente ampliata, potrebbe essere l'argomento del modulo monografico del secondo semestre.

• 07/03/05:  introduzione al secondo modulo; programma. Sistemi lineari in dimensione maggiore di 2. Matrice esponenziale e sue proprietà. Il caso diagonalizzabile. Il caso non diagonalizzabile (cenni ed esempi). Autospazi e traiettorie rettilinee. Il ruolo degli autovettori generalizzati.
• 10/03/05:  un esempio esplicito di sistema con un autovalore irregolare: determinazione delle orbite. Decadimento esponenziale lineare della singola traiettoria. Decadimento esponenziale globale di un sistema. Crescita esponenziale. Spazi stabile, instabile e centro di un sistema lineare e loro invarianza. Richiami sul metodo di linearizzazione. Enunciato del teorema sul decadimento esponenziale nonlineare. Un esempio in dimensione 1.
• 14/03/05:  Dimostrazione del teorema sul decadimento esponenziale nonlineare. Varietà stabile e instabile nel caso non lineare. Confronto col caso lineare. Commenti. Vari esempi espliciti in dimensione 1 e 2.
• 21/03/05:  Altri esempi di calcolo delle varietà stabile e instabile. Orbite omocline ed eterocline. Definizione di omega-limite di una singola traiettoria e di insieme positivamente invariante. Criterio per la stabilità asintotica, commenti e dimostrazione.
• 11/04/05:  Ulteriori commenti sul criterio per la stabilità asintotica e interpretazione geometrica. Enunciato del Teorema di Poincaré-Bendixson. Alcuni esercizi: in particolare, studio "globale" delle traiettorie di un sistema autonomo bidimensionale.
• 12/04/05:  Definizione di sistema dinamico "astratto". Commenti sulla definizione ed esempio delle equazioni autonome. Orbite e traiettorie. Unicit\`a all'indietro ed un esempio in cui questa non vale. Definizione e proprietà delle mappe S(-t).
• 18/04/05:  Definizione di insieme positivamente, negativamente, completamente invariante. Definizione di omega-limite di un insieme. Vari esempi. Definizione di sistema dinamico dissipativo e di insieme assorbente. Teorema di caratterizzazione dell'omega-limite di un sistema dinamico avente un assorbente compatto. Dimostrazione. Esempi.
• 19/04/05:  Nozioni di distanza tra insiemi. Definizione di insieme attraente ed esempi. Il caso del bacino di attrazione non coincidente con tutto lo spazio. Definizione di attrattore globale. Teorema di esistenza dell'attrattore globale e dimostrazione. Teorema di caratterizzazione dell'attrattore globale come unione di tutte le orbite complete limitate e dimostrazione.
• 26/04/05:  Connessione dell'attrattore globale. Alcuni esempi espliciti di attrattore. Svolgimento di un tema d'esame.

• 04/10/04:  introduzione al corso e informazioni generali. Norme e spazi normati. Completezza. Struttura dello spazio delle funzioni continue definite su un compatto a valori vettoriali. Relazioni con la convergenza uniforme. Esempi.
• 06/10/04:  Teorema delle contrazioni, dimostrazione e commenti. Problema di Cauchy per un'equazione differenziale ordinaria. Concetto di soluzione in piccolo. Problema in avanti e problema all'indietro.
• 11/10/04:  Equivalenza delle formulzaioni integrale e differenziale del Problema di Cauchy. Regolarità della soluzione. Condizione "(C)" di Lipschitzianità locale. Teorema di esistenza e unicità in piccolo e dimostrazione. Osservazioni varie sul teorema. Interpretazione geometrica: le traiettorie non si possono intersecare. Cosa succede quando manca (C): fenomeno del "pennello di Peano".
• 13/10/04:  Prolungamento delle soluzioni del problema in avanti. Caso "con unicità": la relazione d'ordine è totale. Caso "senza unicità". Soluzioni (in piccolo) massimali. Prolungamento di applicazioni lipschitziane tra spazi di Banach. Criterio di non massimalità e dimostrazione. Concetto di soluzione in grande. Lemma di Gronwall "in avanti" e dimostrazione. Condizione di "sottolinearità" su f. Enunciato del teorema di esistenza e unicità in grande.
• 18/10/04:  Dimostrazione del teorema di esistenza e unicità in grande. Vari esempi ed esercizi rivolti ad illustrare l'applicabilità dei teoremi generali, con particolare attenzione alle tecniche utilizzabili per determinare il dominio della soluzione massimale di un problema di Cauchy.
• 20/10/04:  Dipendenza continua dai dati. Introduzione del problema. Inadeguatezza sia della convergenza puntuale sia di quella uniforme. Convergenza uniforme sui compatti. Enunciato del teorema di dipendenza continua nel caso generale ("in piccolo") e dimostrazione nel caso particolare ("in grande"). Introduzione alle equazioni a variabili separabili.
• 25/10/04:  Teorema sulle equazioni a variabili separabili. Equazioni omogenee e riduzione di queste ad equazioni a variabili separabili. Vari esercizi.
• 27/10/04:  Equazioni scalari di ordine superiore al primo e riduzione a un sistema del primo ordine. Problema di Cauchy ed altri tipi di problemi per questo tipo di equazioni. Equazioni autonome del II ordine: riduzione al primo ordine. Un esempio. Studi qualitativi (locali e globali) delle soluzioni di equazioni differenziali ordinarie.
• 03/11/04:  Norme di matrici. Equazioni e sistemi lineari del primo ordine. Applicabilità del Teorema di esistenza e unicità "in grande". Struttura dell'insieme delle soluzioni dell'equazione lineare completa. Matrici fondamentali e matrice risolvente. Metodo della variazione delle costanti. Formula per il Problema di Cauchy per il generico sistema lineare del primo ordine una volta che sia nota una matrice fondamentale dell'equazione omogenea associata. Il caso dell'equazione scalare.
• 08/11/04:  Metodo della variazione delle costanti per i sistemi del primo ordine e per le equazioni lineari scalari di ordine k. Esercizi. Uno studio qualitativo.
• 12/01/05:  Risoluzione di temi d'esame.

• Giulio Schimperna:  telefono 0382/505654, homepage, email, ricevimento martedì 14-16.
• Pierluigi Colli:  telefono 0382/505617, homepage, email.