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Variazione data. L'appello originariamente previsto per martedì 26 settembre 2006, su richiesta di alcuni studenti, è stato spostato a giovedì 28 settembre 2006, sempre alle ore 9.30, in aula A107 (fisica) (attenzione anche alla variazione dell'aula!). Gli orali inizieranno immediatamente dopo la fine della prova scritta. Gli interessati sono pregati di iscriversi con le consuete modalità.

Si ricorda che l'esame consisterà in una prova scritta della durata di circa un'ora e mezza e di un orale che partirà (di preferenza) immediatamente dopo. Per gli studenti di matematica la prova orale richiederà la conoscenza anche degli argomenti trattati nel secondo modulo.

Il successivo appello d'esame si terrà nel mese di gennaio 2007.

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INDICE

1. Informazioni generali sul corso e novità 2005/06
2. Informazioni sull'esame e sugli appelli
3. Materiale scaricabile
4. Riassunto - I degli argomenti trattati nel primo modulo
5. Riassunto - II degli argomenti trattati nel secondo modulo (solo matematici)
6. Contatta i docenti

• Per quest'anno il corso sarà tenuto in collaborazione col dott. Marco Veneroni, che si occuperà prevalentemente delle esercitazioni.
• Il corso sarà mutuato anche dal Corso di Laurea in Matematica.
• L'orario delle lezioni è il seguente: lunedì 14.15-16.20 e martedì 14.15-16. Tutte le lezioni si terranno in Aula A101 presso il Dipartimento di Fisica.
• La durata del corso sarà di circa 40 ore (5 crediti) per gli studenti di Fisica e di circa 60 ore (7 crediti) per gli studenti di Matematica. In entrambi i casi la durata comprende anche le esercitazioni. Contrariamente al 2004/05, quest'anno il corso si svolgerà interamente al primo semestre.
• Le 20 ore aggiuntive riservate agli studenti di Matematica avranno carattere monografico e si terranno in coda al corso nei mesi di dicembre 2005 e gennaio 2006.
• Il programma del modulo monografico per i matematici consisterà di due argomenti distinti: (1) nozioni dalla teoria "astratta" dei sistemi dinamici e applicazioni a problemi concreti legati ad equazioni differenziali; (2) teorema di esistenza di soluzioni per il problema di Cauchy nel caso senza unicità (questa parte comprenderà anche un po' di teoria generale degli spazi metrici, argomento di interesse autonomo).

• L'esame dovrebbe consistere, come lo scorso anno, di una prova scritta "veloce" (della durata di circa un'ora e mezza) e di una prova orale. In linea di massima, le prove orali di ogni appello inizieranno immediatamente dopo la fine della prova scritta.
• La prova scritta sarà uguale per gli studenti di Fisica e per quelli di Matematica. Per questi ultimi, la prova orale riguarderà anche gli argomenti trattati nelle 20 ore della parte monografica a loro riservata.
• Nella prova orale sarà richiesta la conoscenza di tutto il programma svolto a lezione. Tuttavia, non si insisterà sulle dimostrazioni più tecniche.
• Saranno dati nel corso dell'anno accademico esattamente 4 appelli: due tra gennaio e febbraio, uno tra giugno e luglio, e uno a settembre. In nessun caso saranno concessi appelli straordinari.

• 03/10/05:  introduzione al corso e struttura dello stesso. Descrizione del programma. Concetto di equazione differenziale. Equazioni ordinarie e a derivate parziali. Principali problemi legati allo studio delle EDO.
• 04/10/05:  Spazi vettoriali normati. Completezza. Spazi di funzioni continue e loro struttura di spazi di Banach. Relazioni col concetto di convergenza uniforme. Esempi vari. Teorema delle contrazioni e dimostrazione. Problema di Cauchy e definizione di soluzione in piccolo.
• 05/10/05:  Formulazione differenziale e integrale del Problema di Cauchy. Condizione "C" di Lipschitzianità locale. Teorema di esistenza e unicità in piccolo e dimostrazione. Osservazioni sul teorema. Caso in cui cade l'unicità.
• 10/10/05 (2.5 ore):  Prolungamento delle soluzioni. Soluzioni massimali. Criterio di non massimalità. Esempi. Enunciato del teorema di esistenza e unicità "in grande". Lemma di Gronwall in forma integrale. Un'osservazione sull'unicità della soluzione.
• 11/10/05:  Dimostrazione del teorema di esistenza e unicità "in grande". Vari esempi di applicazione e facili studi qualitativi. Problema della dipendenza continua dai dati. Convergenza uniforme sui compatti e struttura dello spazio delle funzioni continue definite su un insieme aperto. Enunciato del teorema di dipendenza continua dai dati. Alcuni esempi e controesempi.
• 17/10/05  (esercitazione): equazioni a variabili separabili, omogenee, autonome del secondo ordine.
• 18/10/05:  Dimostrazione del teorema di dipendenza continua dai dati (nel caso della Lipschitzianità globale). Equazioni scalari di ordine superiore al primo e riduzione a sistemi del primo ordine. Condizioni di Cauchy e altri tipi di condizioni al contorno (e.g., ai limiti). Introduzione ai sistemi lineari. Norme di matrici. Esistenza della soluzione "in grande". Teorema di struttura dell'insieme delle soluzioni e dimostrazione.
• 24/10/05  (esercitazione): vari tipi di equazioni non lineari integrabili tramite sostituzioni.
• 25/10/05:  Risoluzione dei sistemi lineari: analisi del sistema omogeneo nel caso a coefficienti costanti. Matrici fondamentali. Matrice esponenziale e sue proprietà. Calcolo della matrice esponenziale: caso diagonale, caso diagonalizzabile.
• 07/11/05 (2.5 ore):  Forma canonica di Jordan e applicazione allo studio di sistemi lineari a coefficienti costanti.
• 08/11/05  (esercitazione): metodo della variazione delle costanti.
• 14/11/05 (2.5 ore):  Equazioni lineari a coefficienti costanti di ordine superiore al primo. Calcolo delle soluzioni nel caso omogeneo. Riduzione a un sistema del primo ordine e applicazione del metodo della variazione delle costanti. Un esercizio. Equazioni autonome. Rappresentazione nello spazio delle fasi.
• 15/11/05  (esercitazione): risoluzione di sistemi lineari. Studi qualitativi.
• 21/11/05:  Stabilità dei sistemi lineari. Decadimento e crescita esponenziale. Spazi stabile, instabile e centro e loro proprietà. Classificazione dei punti di equilibrio per i sistemi lineari bidimensionali.
• 22/11/05  (esercitazione): studi qualitativi.
• 28/11/05:  Proprietà generiche e piccole perturbazioni. Stabilità non lineare. Metodo di linearizzazione. Esempi.
• 29/11/05  (esercitazione): esercizi su stabilità lineare.
• 05/12/05:  Metodo di linearizzazione applicato ai sistemi bidimensionali: descrizione delle varie situazioni possibili. Teorema di Liapounov. Significato geometrico, dimostrazione. Criterio per la stabilità asintotica. Cenni di dimostrazione.
• 16/01/06:  esercizi di riepilogo e tratti da temi d'esame.
• 17/01/06:  (esercitazione): esercizi su stabilità non lineare e metodo di Liapounov.

• 06/12/05:  Introduzione. Definizione "astratta" di sistema dinamico. Orbite e traiettorie. Unicità all'indietro e mappe S(t) con t minore di 0. Un caso senza unicità all'indietro. Insiemi positivamente, negativamente, completamente invarianti.
• 13/12/05:  Punti di equilibrio. Cicli limite. Varietà stabile e instabile. Orbite omocline ed eterocline. Esempi. Relazioni col caso lineare. &omega-limite di un punto. Teorema di Poincaré-Bendixson (enunciato). Integrali primi, significato geometrico e loro determinazione nel caso bidimensionale.
• 14/12/05:  Funzioni di Liapounov (globali). &omega-limite di un insieme. Vari esempi. Relazione con l'&omega-limite dei singoli punti dell'insieme stesso. Insiemi assorbenti (localmente e globalmente). Dissipatività. Teorema di caratterizzazione dell'&omega-limite di insiemi limitati per sistemi dinamici che ammettono un assorbente compatto.
• 20/12/05:  Dissipatività come perdita di energia. Distanze tra insiemi e intorni. Insiemi attraenti e "localmente attraenti". Attrattori. Bacino di attrazione. Relazioni tra attrattività e invarianza. Attrattore globale. Unicità. Teorema di esistenza dell'attrattore globale. Dimostrazione (prima parte).
• 21/12/05:  Conclusione della dimostrazione del Teorema di esistenza dell'attrattore globale. Caratterizzazione dell'attrattore globale come unione delle orbite complete limitate. Connessione dell'attrattore globale. Alcuni Esempi legati a sistemi di equazioni differenziali ordinarie (in particolare, pendolo smorzato).
• 10/01/06:  Spazi metrici. Completezza. Compattezza. Relativa compattezza. Caratterizzazione degli spazi metrici compatti. Equicontinuità. Enunciato del Teorema di Ascoli.
• 11/01/06:  Dimostrazione del Teorema di Ascoli. Commenti. Introduzione al problema dell'esistenza delle soluzioni di un problema di Cauchy nelle ipotesi di sola continuità dei dati. Non convergenza delle approssimanti di Peano-Picard.
• 13/01/06:  Teorema di Peano sull'esistenza delle soluzioni in ipotesi di sola continuità dei dati. Caso con f definita su una striscia verticale e globalmente limitata. Caso generale: esistenza "in piccolo" senza unicità. Lemma di Zorn. Prolungamento delle soluzioni, soluzioni massimali, esistenza in grande. Esistenza di più soluzioni massimali dello stesso problema (un esempio concreto).
• 18/01/06:  Esistenza senza unicità nel caso scalare. Possibilità di approssimare tutte le soluzioni del problema di Cauchy. Soluzioni massime e minime. Pennello di Peano.

• Giulio Schimperna:  telefono 0382/505654, homepage, email, ricevimento su appuntamento (telefonare o mandare un e-mail).
• Marco Veneroni:  telefono 0382/505612, email.