Analisi Funzionale

IN EVIDENZA:

Appelli d'esame. Si ricorda che le date degli appelli riportate sull'area riservata di Ateneo sono puramente indicative. Gli studenti che volessero sostenere l'esame sono dunque invitati a prendere accordi direttamente col docente. È possibile (sebbene non sia consigliato...) sostenere l'esame anche al di fuori delle sessioni ufficiali.

Un conto. A questo indirizzo potete trovare la risposta a un problema relativo alle funzioni convesse coniugate la cui soluzione era rimasta in sospeso durante l'ultima lezione.

CALENDARIO DELLE LEZIONI

Settimana 0 (propedeutica)
2. 30/09/13. Definizioni di spazio vettoriale, spazio metrico ev. completo, spazio normato e di Banach. Esempi (C⁰([-1,1]) con norme diverse). Norme equivalenti; seminorme; sottospazi, chiusi e non, densi, con esempi; nucleo di una seminorma e' sottospazio; spazi prehilbertiani e di Hilbert.
4. 03/10/13. Spazi di Hilbert: regola del parallelogramma e norme hilbertiane, costruzione del prodotto scalare a partire dalla norma; enunciati dei teoremi di Riesz e del teorema delle proiezioni su sottospazi chiusi. Esempi di spazi di Hilbert: R^N, l². Operatori lineari e continui tra spazi normati: spazio vettoriale, definizione della norma; completezza dello spazio degli operatori se lo spazio di arrivo e' Banach; caso dei funzionali. Esempi di operatori lineari e limitati. Spazi L^p: introduzione, classi di funzioni tra loro uguali q.o., problematiche. Disuguaglianza di Young con dimostrazione.
6. 07/10/13 Disuguaglianza di Holder con dimostrazione; disuguaglianza di Minkovski con dimostrazione; enunciato completezza degli L^p; estensione disuguaglianza di Holder al prodotto di k funzioni disuguaglianza di interpolazione tra gli L^p. inclusioni fra spazi L^p sia nel caso di Ω di misura finita (operatore di immersione e' limitato con stima) che nel caso generale.
   
   Settimana 1
8. 09/10/13. Completezza di L^p con dimostrazione sia nel caso p=∞ che nel caso p<∞ (Brezis). Conseguenza: dalla convergenza in L^p.segue la convergenza quasi ovunque di una sottosuccessione (ma non necessariamente di tutta la successione). Osservazioni sulle relazioni tra normabilità, metrizzabilità e topologia. La completezza è una proprietà metrica.
10. 10/10/13. Tutte le norme su uno spazio vettoriale di dimensione finita sono equivalenti (Gilardi). La norma in L^p tende alla norma in L^∞. per p che tende a ∞. Alcuni esempi di spazi di Banach. Spazi l^p e loro sottospazi importanti. Spazi di funzioni continue.
    
11. 11/10/13 (un'ora). Richiami sul lemma di Zorn. Teorema di Hahn-Banach e dimostrazione nel caso reale. Estensione al caso complesso (enunciato).
    
    Settimana 2
13. 14/10/13. Dimostrazione del teorema di Hahn-Banach nel caso complesso (Gilardi). Corollari importanti del teorema di Hahn-Banach: prolungamento dei funzionali lineari e continui; mappa di dualità (Brezis, Corollari I.2, I.3, I.4). Insiemi convessi, bilanciati, assorbenti in uno spazio vettoriale. Funzionale di Minkowski e sue proprietà (Brezis e appunti).
15. 16/10/13. Proprietà (Brezis e appunti) dei funzionali di Minkowski (continuazione). Forme geometriche del teorema di Hahn-Banach e dimostrazione (Brezis). Esercizio: separabilità in senso largo di insiemi convessi in R^N senza ipotesi aggiuntive.
17. 17/10/13. Funzioni convesse, semicontinue inferiormente e proprie. Legami tra convessità, semicontinuità inferiore, proprietà dell'epigrafico e proprietà dei sottolivelli. Semicontinuità inferiore e semicontinuità inferiore sequenziale. Funzione convessa coniugata. La coniugata di una funzione convessa s.c.i. e propria è anch'essa convessa s.c.i. e propria (seguo dove possibile Brezis, le parti sulla semicontinuità sono trattate in dettaglio su Gilardi).
    
    Settimana 3
19. 21/10/13. Ogni funzione convessa s.c.i. propria ammette una minorante affine. Funzione biconiugata. Teorema di Fenchel-Moreau e dimostrazione (seguo Brezis). Se φ ammette una minorante affine, allora la sua biconiugata è la più grande funzione convessa semicontinua inferiormente e propria che la minora. Esempi espliciti di funzioni convesse coniugate in dimensione finita ed infinita.
21. 23/10/13. Sottodifferenziale e sue proprietà Differenziali di Gateaux e di Fréchet. Relazioni tra sottodifferenziale e differenziale di Gateaux. Esempi espliciti di sottodifferenziale in R. Un esempio in L²: integrande convesse (Gilardi, paragrafo V.12 fino all'oss. 12.11, più la Prop. 12.22)
23. 24/10/13. Il sottodifferenziale è un operatore monotono. Lemma di Baire: versioni relative agli aperti ed ai chiusi, e loro equivalenza; dimostrazione. Teorema di Banach-Steinhaus e dimostrazione. Corollari (Brezis, II.2-4). Enunciato del teorema dell'applicazione aperta. Osservazione: basta mostrare che l'immagine della bolla unitaria centrata in 0 contiene una bolla centrata in 0. Corollario sull'equivalenza di norme.
    
    Settimana 4
25. 28/10/13. Dimostrazione del teorema dell'applicazione aperta. Teorema del grafico chiuso e dimostrazione. Vale anche il viceversa (ogni mappa continua ha grafico chiuso) (Brezis). Svolgimento di alcuni esercizi.
27. 30/10/13. Conseguenze del teorema del grafico chiuso. Supplementare topologico. Esistenza del supplementare topologico nei caso della dimensione e della codimensione finita (Brezis). Stretta convessità e proprietà della mappa di dualità. Immersione canonica e riflessività (Gilardi, parti dei paragrafi V.3 e V.4).
29. 31/10/13. Aggiunto di un operatore lineare limitato (Gilardi, paragrafo V.8). Relazioni di ortogonalità tra sottospazi. Operatori lineari non limitati. Aggiunto di un operatore lineare non limitato. Chiusura dell'aggiunto (Brezis).
    
    Settimana 5
31. 04/11/13. Relazioni di ortogonalità tra nucleo e immagine; caratterizzazione degli operatori lineari limitati (Brezis, Cor. II.17 e Teorema II.21). Svolgimento di alcuni esercizi.
33. 06/11/13. Topologia indotta da una famiglia di mappe. Topologia debole su uno spazio di Banach E e sue proprietà elementari (Brezis).
35. 07/11/13. Topologia debole, insiemi convessi ed applicazioni lineari. Definizione e proprietà elementari della topologia debole-*. Caratterizzazione dei funzionali lineari e continui rispetto alla topologia debole-*: "provengono" tutti da elementi di E tramite l'immersione canonica (Brezis).
    
36. 08/11/13 (un'ora). Caratterizzazione degli iperpiani debole-* chiusi di E'. Se E non è riflessivo, E' ammette sottospazi debolmente chiusi che non sono debolmente-* chiusi. Teorema di Banach-Alaoglu (solo enunciato). Teorema di Kakutani (enunciato e dimostrazione di un'implicazione (Brezis).
    
    Settimana 6
38. 11/11/13. Teorema di Kakutani (dimostrazione dell'implicazione inversa). Conseguenze. Ulteriori proprietà degli spazi riflessivi. L'aggiunto di un operatore lineare non limitato tra spazi riflessivi è sempre densamente definito. Operatore biaggiunto. (Brezis).
40. 13/11/13. Spazi separabili e loro proprietà. Metrizzabilità della topologia debole-* sulla bolla unitaria del duale di uno spazio separabile. Conseguenze. (Brezis). In particolare: in uno spazio riflessivo ogni successione limitata ammette una sottosuccessione debolmente convergente. Esercizio: la topologia debole non è mai metrizzabile sull'intero spazio, salvo in dimensione finita.
42. 14/11/13. Uniforme convessità. Teorema di Milman e dimostrazione (Brezis). In uno spazio uniformemente convesso la convergenza debole più quella della successione delle norme implicano la convergenza forte (Brezis oppure Gilardi). Svolgimento di un esercizio (il duale di c₀ è l¹).
    
    Settimana 7
44. 18/11/13. Prima disuguaglianza di Clarkson. Uniforme convessità e riflessività di L^p per 2 < p < ∞. Riflessività di L^p per 1 < p < 2. Teorema di rappresentazione di Riesz per 1 < p < ∞ (Brezis) e dimostrazione. Svolgimento di un esercizio.
46. 20/11/13. Densità di C_c(R^N) in L^p(R^N) per p in [1,∞). Teorema di rappresentazione di Riesz in L¹ e dimostrazione. Non riflessività di L¹ (Brezis).
48. 21/11/13. Proprietà di L^∞. In particolare, non riflessività e non separabilità. Convoluzione in R^N. Il prodotto di convoluzione di una funzione L¹ per una funzione L^p sta in L^p. Definizione di supporto per funzioni L^p. Supporto di una convoluzione.
    
49. 22/11/13 (un'ora). Convoluzione tra una funzione continua a supporto compatto e una funzione L¹_loc. Ipotesi che garantiscono la continuità e la differenziabilità del prodotto di convoluzione. Mollificatori (Brezis, IV.19-21 ed enunciato IV.22).
    
    Settimana 8
51. 25/11/13. Regolarizzazione tramite mollificatori (Brezis, dimostrazione IV.22, IV.23 (solo enunciato) e IV.24 con dimostrazione). Svolgimento di alcuni esercizi.
53. 27/11/13. Svolgimento di alcuni esercizi. Richiami sugli spazi metrici compatti. Enunciato del Teorema di Ascoli. Dimostrazione di un'implicazione, commenti (dispensa di Equazioni Differenziali).
55. 28/11/13. Dimostrazione della seconda implicazione del teorema di Ascoli. Criterio di compattezza forte in L^p (Riesz-Fréchet-Kolmogorov), dimostrazione e commenti (Brezis).
56. 29/11/13 (un'ora). Svolgimento di esercizi sulla compattezza in L^p.
    
    Settimana 9
58. 02/12/13. Richiami sugli spazi di Hilbert. Teorema delle proiezioni su un convesso chiuso e dimostrazione. Teorema di rappresentazione di Riesz-Fréchet e dimostrazione. Teorema di Lions-Stampacchia e dimostrazione (Brezis).
60. 04/12/13. Teorema di Lax-Milgram e dimostrazione (Brezis). Osservazioni sui teoremi di Lions-Stampacchia e Lax-Milgram e legami con l'analisi convessa e il concetto di sottodifferenziale. Ortogonalità in spazi di Hilbert. Decomposizione di un vettore in proiezioni su sottospazi ortogonali: caso di una famiglia finita e di una famiglia numerabile di sottospazi (Gilardi).
62. 05/12/13. Teorema sulle somme hilbertiane e dimostrazione. Applicazione al caso delle serie di Fourier in L². Ogni spazio di Hilbert separabile ammette una base hilbertiana (Gilardi). Svolgimento di alcuni esercizi (in particolare, terne hilbertiane).
    
    Settimana 10
64. 11/12/13. Lemma di Riesz. La bolla unitaria in uno spazio normato di dimensione infinita non è mai (fortemente) compatta (Brezis, par. VI.2). Definizione di derivata debole e degli spazi di Sobolev W^1,p e commenti vari (Brezis).
66. 12/12/13. Relazione tra derivate deboli e derivate distribuzionali. Ogni funzione di W^1,p è (quasi ovunque) una primitiva della sua derivata debole. Caratterizzazione delle funzioni di W^1,p in termini di traslazioni (Brezis).
67. 13/12/13 (un'ora). Caratterizzazione delle funzioni di W^1,p in termini di traslazioni (continuazione). Operatore di prolungamento da W^1,p(I) a W^1,p(R) (Brezis, dimostrazione solo nel caso di I semiretta).
    
    Settimana 11
69. 16/12/13. Densità di C^∞_c(R) in W^1,p(I) per 1 ≤ p < ∞. Teorema di immersione continua e di immersione compatta per W^1,p(I). Regole di derivazione del prodotto e della funzione composta in ambito Sobolev (Brezis).
71. 18/12/13. Spazi W^1,p₀(I). Disuguaglianza di Poincaré. Spazi W^m,p(I) (Brezis). Topologia generata da una famiglia separata di seminorme e sue proprietà. Caso di una famiglia numerabile di seminorme: metrizzabilità della topologia risultante e costruzione esplicita di una metrica (appunti).
73. 19/12/13. Spazi di Fréchet; convergenza e continuità dei funzionali negli spazi di Fréchet. Alcuni spazi importanti: C⁰(Ω), C^∞(K), C^∞(Ω), L¹_loc(Ω) (appunti). Formulazione debole di problemi ai limiti di tipo Dirichlet (Brezis). Relazioni tra soluzioni deboli e soluzioni classiche.
    
    Settimana 12
75. 08/01/14. Formulazione debole di problemi ai limiti di tipo Neumann (Brezis). Ulteriori esempi: un problema ellittico a coefficienti non costanti; una disequazione variazionale; un problema di tipo ostacolo (appunti e fotocopie date a lezione).
77. 09/01/14. Svolgimento di temi d'esame.
78. 10/01/14 (un'ora). Svolgimento di temi d'esame.

LIBRI DI TESTO

MODALITÀ D'ESAME

L'esame sarà costituito da una prova orale. È previsto un unico scritto (facoltativo) subito dopo la fine del corso. In ogni caso il mancato svolgimento dello scritto non costituisce una penalizzazione.
Temi d'esame di Analisi Funzionale dati dal Prof. Colli negli anni passati: anno 2011, anno 2012, anno 2013.
Tema d'esame assegnato nell'anno 2014.