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1. Informazioni generali sul corso
2. Programma (di massima)
3. Modalità d'esame
4. Materiale scaricabile
5. Riassunto degli argomenti trattati a lezione
6. Contatti
7. Risultati degli scritti d'esame

• Docenti:  Giulio Schimperna (corso A) e Michele Bricchi (corso B) per le lezioni; Elisa Tenni (corso A) e Marco Veneroni (corso B) per le esercitazioni; Marco Morandotti (corso A) e Alessio Palmero (corso B) per il tutorato.
• Orario lezioni:  lunedì e mercoledì ore 11-13 aula A4 (corso A);
  lunedì e mercoledì ore 9-11, aula B4 (corso B). Si segnala che durante il mese di gennaio sono previste 2 ore aggiuntive (probabilmente il venerdì mattina).
• Orario tutorati:  Martedì dalle 14 alle 16 (aula A4 per il gruppo A e B4 per il gruppo B).
• Orari di ricevimento:  vedi sotto.
• Libro di testo:  Paolo Marcellini, Carlo Sbordone, "Elementi di Analisi Matematica uno", Liguori Editore. La stessa casa editrice pubblica testi di "Esercitazioni di Matematica" (Volume 1, parti prima e seconda) degli stessi autori. Si noti che l'acquisto di tali eserciziari non è richiesto; la referenza è data solo a scopo indicativo.

1. richiami di logica e teoria degli insiemi, insiemi numerici, concetto di funzione, funzioni elementari e loro grafici;
2. successioni, concetto di limite, successioni convergenti, divergenti e oscillanti;
3. limiti di funzioni, strumenti per il calcolo di limiti, funzioni continue e punti di discontinuità, principali proprietà delle funzioni continue;
4. derivate, verifica della derivabilità, calcolo delle derivate, teoremi fondamentali del calcolo differeniale, applicazioni del calcolo differenziale per il calcolo di limiti e per lo studio di funzioni;
5. integrale definito e integrale indefinito, interpretazione geometrica, teorema fondamentale del calcolo integrale, integrazione per parti e per sostituzione, calcolo di integrali;
6. serie, somma di una serie, serie convergenti, divergenti e oscillanti, alcuni criteri di convergenza;
7. introduzione alle equazioni differenziali, equazioni a variabili separabili, equazioni lineari del primo ordine, equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti, esempi tratti da applicazioni fisiche e biologiche.

• Prova scritta: sarà di tipo "tradizionale", ossia saranno dati degli esercizi da svolgere su foglio protocollo. Sarà verosimilmente valutata con voto in trentesimi. Durante la prova scritta sarà consentita la consultazione di libri di testo, appunti, ecc.. Non saranno fissate soglie minime di voto per l'ammissione all'orale; tuttavia, in caso di votazione particolarmente negativa dello scritto, la commissione si riserva il diritto di "sconsigliare" alla prova orale, ovvero di obbligare a svolgere l'orale in forma "tradizionale" (vedi sotto).
• Prova orale: per la prova orale, ogni candidato potrà scegliere tra "orale in forma scritta" e "orale tradizionale". In caso di indecisione, il default è la prima opzione. Optare per l'una o l'altra scelta non comporta differenze nei criteri di valutazione. L'orale in forma "tradizionale" consiste in un'interrogazione alla lavagna. L'"orale in forma scritta" consiste in un breve compito da svolgersi, appunto, per iscritto. Tale compito conterrà 3 domande di carattere "teorico" (vedi sotto per maggiori dettagli). Il candidato dovrà rispondere a non più di 2 di queste domande. Durante l'orale in forma scritta non sarà consentita la consultazione di libri di testo ed appunti. Al termine dell'orale in forma scritta, la commissione correggerà l'elaborato e potrà proporre direttamente un voto, ovvero, in caso di indecisione, riservarsi di fare una domanda aggiuntiva.
• Appelli: per l'Anno Accademico 2004/05 saranno proposti esattamente 4 appelli: due a febbraio, uno a giugno o a luglio, e uno a settembre. Non saranno più concessi appelli straordinari, neanche riservati a fuori corso, laureandi, ecc.. Per questo motivo, gli studenti sono raccomandati di sfruttare le opportunità che vengono loro fornite (in soldoni, a prepararsi già per il primo appello).
• Ulteriori informazioni: è possibile "congelare" a tempo indeterminato una valutazione positiva riportata all'esame. Non è invece consentito, in caso di esito negativo della prova orale, di "tenere buono" lo scritto: si dovrà ripetere l'intero esame. Non sono previsti "saltappelli": anche in caso di esito disastroso di un appello, ciascuno potrà iscriversi al successivo.
• Ulteriori dettagli sull'orale in forma scritta: nelle domande non saranno esplicitamente richieste le dimostrazioni, neanche quelle svolte a lezione (ma naturalmente, qualora il candidato ricordi una dimostrazione, è invitato a scriverla...). Tuttavia, saranno richieste tutte le definizioni e gli enunciati dei teoremi trattati a lezione, in forma precisa e rigorosa (ossia con le ipotesi e la tesi corrette). Inoltre, si porrà particolare attenzione alla comprensione di tali definizioni; per questo motivo, nella maggior parte delle domande sarà richiesto di fornire esempi o controesempi significativi (molti esempi sono stati introdotti a lezione; si raccomanda dunque di riguardarli e capirli). Infine, sarà esplicitamente richiesto di conoscere il comportamento qualitativo (ossia di sapere disegnare il grafico) delle funzioni elementari introdotte nella prima parte del corso, in dettaglio: funzioni potenza (per tutte le scelte possibili dell'esponente), trigonometriche, esponenziali e logaritmiche (per tutte le scelte possibili della base).

• Esercizi su insiemi e funzioni elementari;
• Esercizi sui limiti di successioni;
• Esercizi sui limiti di funzioni;
• Esercizi sul calcolo differenziale;
• Esercizi sugli integrali;
• Dispensa sulle equazioni differenziali;
• Tema d'esame del 24/11/2004: file.pdf;
• Tema d'esame del 10/02/2005: Versione A, Versione B;
• Tema d'esame del 24/02/2005: Versione A, Versione B;
• Tema d'esame del 13/06/2005: Versione A, Versione B;
• Tema d'esame del 05/07/2005: Versione A, Versione B.
• Tema d'esame del 20/09/2005: Versione A, Versione B.

• 06/10/04:  introduzione al linguaggio matematico: proposizioni e predicati, connettivi logici ("e", "o", "non", "implica", doppia implicazione), quantificatori; negazione di proposizioni; concetto di teorema, dimostrazione diretta e per assurdo; esempi.
• 11/10/04:  elementi di teoria degli insiemi: notazioni; intersezione, unione, differenza di insiemi; prodotto cartesiano; relazioni d'ordine. Costruzione dei numeri reali: proprietà delle operazioni somma e prodotto e della relazione d'ordinamento, proprietà di completezza. L'insieme dei razionali non è chiuso rispetto all'estrazione di radice quadrata.
• 13/10/04:  concetti di massimo e minimo di un insieme non vuoto. Unicità del massimo e del minimo. Insiemi superiormente limitati, inferiormente limitati, limitati. Maggioranti e minoranti. Teorema di esistenza dell'estremo superiore come conseguenza dell'assioma di completezza. Caratterizzazione dell'estremo superiore. Esempi. Retta reale. Intervalli di R aperti, chiusi, limitati e non limitati. Uso del simbolo di infinito.
• 18/10/04 (esercitazione):  funzioni potenza e funzioni trigonometriche. Grafici e principali proprietà.
• 20/10/04:  concetto di funzione. Dominio, codominio, spazio immagine. Grafico e rappresentazione cartesiana. Controimmagini di punti e di insiemi. Funzioni iniettive, suriettive, biettive e corrispondenti proprietà geometriche dei grafici. ``Rendere suriettiva'' una funzione: spazio immagine come codominio. ``Rendere iniettiva'' una funzione: concetto di restrizione. Funzioni composte. Funzione inversa. Grafico della funzione inversa.
• 25/10/04 (esercitazione):  funzioni esponenziali e logaritmiche. Richiami sulla funzione inversa. Funzione valore assoluto (modulo). Funzione arcotangente. Funzioni limitate e non limitate; sup, inf, max e min di una funzione; distinzione tra punto di massimo e valore massimo (assoluto). Traslazioni di grafici. Esempi.
• 27/10/04:  definizione di successione. Notazioni. Rappresentazione "grafica" delle successioni. Definizione di successione convergente e di limite. Verifica formale della definizione. Unicità del limite (con dimostrazione "geometrica"). Retta reale estesa e limiti infiniti. Verifica formale della divergenza. Successioni regolari e successioni oscillanti. Successioni limitate. Sup, inf, max e min di una successione. Esempi.
• 03/11/04:  Teoremi su limiti di somme, prodotti, quozienti (dimostrazione nel caso della somma); limiti di successioni di tipo potenza, esponenziale, logaritmico; estensione dei teoremi al caso di limiti nulli o infiniti (forme a/0, a/infinito, ecc.); cenni alle forme indeterminate (che saranno trattate a esercitazioni); esempi. Teorema della permanenza del segno (con dimostrazione "geometrica"). Conseguenza: conservazione delle disuguaglianze "larghe". Successioni monotone e strettamente monotone. Teorema fondamentale delle successioni monotone (con dimostrazione nel caso del limite finito).
• 08/11/04 (esercitazione):  esercizi sulle successioni, con particolare attenzione alle forme indeterminate di tipo infinito su infinito.
• 10/11/04:  Grafico della funzione (sen x)/x e comportamento vicino a 0. Definizione di limite di una funzione f(x) per x tendente a un valore reale x₀. Osservazioni sulla notazione e sulla necessità che la condizione richiesta nella definizione valga per ogni successione tendente a x₀. Intorni di un punto. Intorni di infinito. Definizione di limite per x che tende a infinito. Esempi. Definizione "globale" che include tutti i casi possibili. Osservazioni sulla definizione data usando le successioni. Proprietà ereditate dalle successioni (unicità del limite, teoremi sui limiti di somme, prodotti, quozienti). Definizione "alternativa" di limite senza usare le successioni (caso del limite finito e di x tendente a un numero reale x₀). Equivalenza delle due definizioni (dimostrazione solo della parte facile).
• 15/11/04:  rappresentazione "grafica" della definizione di limite in vari casi. Limite destro e limite sinistro: definizioni e commenti. Definizione di funzione continua in un punto e in un intervallo. Continuità a destra e a sinistra. Continuità di somme, prodotti, quozienti di funzioni continue. Continuità delle funzioni elementari. Teorema su limiti e continuità della funzione composta (in versione leggermente diversa rispetto all'enunciato dato nel paragrafo 32 del testo). Commenti. Applicazione alla dimostrazione della continuità di funzioni dall'espressione analitica complicata. Applicazione al calcolo di limiti di successioni e di funzioni. Commenti sul ruolo del punto "eccezionale" y₀. Punti di discontinuità. Discontinuità "eliminabile" e sua rappresentazione grafica.
• 17/11/04:  discontinuità di salto e di seconda specie. Vari esempi: funzioni segno, sen (1/x); funzione di Dirichlet. Teorema della permanenza del segno per funzioni continue (enunciato). Richiami su punti di massimo e valore massimo di una funzione. Teorema di Weierstrass (enunciato). Cosa succede se elimino una delle ipotesi: controesempi. Teorema degli zeri (enunciato ed esempi). Teorema dei valori intermedi (enunciato). Introduzione al concetto di derivata: moto rettilineo di un punto, velocità media e velocità istantanea.
• 22/11/04:  (esercitazione): esercizi sui limiti di funzioni.
• 24/11/04:  definizione di rapporto incrementale e di derivata. Definizione di funzione derivabile. Significato geometrico. Funzioni monotone e rapporto incrementale. Il caso della derivata infinita. Il caso in cui la derivata non esiste. Esempi. Derivate destra e sinistra. Calcolo delle derivate: derivate delle principali funzioni elementari. Derivate di somme, prodotti, quozienti. Derivata della funzione inversa e applicazioni (derivate dell'esponenziale e dell'arcotangente).
• 29/11/04:  uso del teorema sulla derivata della funzione inversa, esempi. Teorema sulla derivazione delle funzioni composte, idea della dimostrazione. Esempi di applicazione. Calcolo esplicito di alcune derivate. Definizione di punto di estremo relativo e di punto stazionario. Confronto col concetto di estremo assoluto; esempi. Teorema di Fermat (o dell'annullamento della derivata), dimostrazione. Il caso in cui l'estremo relativo è un estremo dell'intervallo. Il caso in cui l'estremo relativo è un punto di non derivabilità. Osservazione: il teorema non si inverte; esempio: punti stazionari che non sono estremi. Legame tra proprietà della funzione e proprietà della derivata. Legame tra monotonia e segno della derivata, tra "essere costante in un intervallo" e avere derivata nulla: dimostrazione della parte facile.
• 01/12/04 (esercitazione):  esercizi sui limiti di funzioni (forme indeterminate); calcolo di derivate; studio di una funzione.
• 14/12/04:  teorema di Rolle: enunciato, significato geometrico e dimostrazione. Chiarimenti sulle ipotesi ed esempi. Teorema di Lagrange: enunciato e significato geometrico. Teorema della derivata nulla: enunciato e dimostrazione; necessarietà che il dominio sia un intervallo. Legame tra monotonia, estremi e segno della derivata: un esempio pratico. Equazione della retta tangente. Funzioni concave e convesse, strettamente concave e convesse. Derivata seconda e derivate successive. Funzioni di classe C⁰ e di classe C^k. Teorema di caratterizzazione delle funzioni concave e convesse; un esempio di studio della derivata seconda. Punti di flesso.
• 17/12/04 (un'ora sola):  ancora sulle funzioni convesse. Formula di L'Hopital.
• 15/12/04 (esercitazione):  studi di funzione.
• 20/12/04:  concetto di area. Introduzione al concetto di integrale definito. Esempio: integrazione di f(x)=x tra 0 e b>0. Definizione di integrale definito (seguendo l'approccio del testo). Commenti sulla notazione. Una funzione non integrabile: la funzione di Dirichlet. Proprietà dell'integrale: additività, linearità, confronto. Integrali su intervalli orientati.
• 22/12/04:  Teorema della media: enunciato, significato geometrico, dimostrazione. Teorema di derivazione della funzione integrale, dimostrazione. Funzione integrale. Primitive. Teorema di caratterizzazione della famiglia delle primitive di f in termini della funzione integrale F. Definizione di integrale indefinito. Formula fondamentale del calcolo integrale, dimostrazione. Gli operatori di derivazione e integrazione come "inversi" l'uno dell'altro. Calcolo degli integrali. Tabella delle primitive a partire dalla tabella delle derivate. Integrazione per decomposizione in somma, qualche esempio.
• 10/01/05:  Integrazione per parti e per sostituzione. Esempi. Cambiamento degli estremi di integrazione negli integrali definiti. Introduzione alle serie. Somma di una serie. Carattere di una serie: serie convergenti, divergenti, oscillanti. Serie geometrica: carattere e calcolo della somma.
• 14/01/05:  Condizione necessaria per la convergenza di una serie. Non sufficienza di tale condizione. Serie a termini non negativi. Teorema fondamentale sulle serie a termini non negativi. Criteri del confronto e del confronto asintotico. Serie armonica e armonica generalizzata. Esempi concreti di uso dei criteri. Criteri della radice e del rapporto (asintotici). Uso di tali criteri. Osservazione: non si conclude nulla nel caso l=1. Serie esponenziale.
• 17/01/05:  Serie a termini di segno qualunque. Convergenza semplice e assoluta. Criterio della convergenza assoluta. Criterio di Leibniz; necessarietà della condizione di monotonia. Esempi. Introduzione alle equazioni differenziali tramite un esempio tratto dalla cinematica (legge oraria del moto di un punto). Equazioni risolubili per semplice integrazione. Condizione iniziale. Problema di Cauchy. Formulazione integrale del Problema di Cauchy. Note sull'esistenza e unicità della soluzione. Note sul dominio della soluzione. Soluzione massimale (non ulteriormente prolungabile). Enunciato del teorema fondamentale di esistenza e unicità. Alcune osservazioni sulle ipotesi. Esempi.
• 19/01/05 (esercitazione):  esercizi sulle serie.
• 21/01/05:  funzioni di più veriabili di classe C¹ (cenni sulle derivate parziali). Commenti sul teorema di esistenza e unicità. Equazioni lineari del primo ordine a coefficienti variabili. Equazione "omogenea" ed equazione "completa". Struttura dell'insieme delle soluzioni. Formule risolutive ed esempi concreti di risoluzione. Equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti. Struttura dell'insieme delle soluzioni. Problema di Cauchy (2 condizioni iniziali). "Ricetta" in 3 punti per risolvere il problema di Cauchy.
• 24/01/05:  Risoluzione del Problema di Cauchy per le equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti con termine noto b(t) della forma polinomio * esponenziale oppure polinomio * funzione trigonometrica: schema e vari esempi. Cenni sulle equazioni a variabili separabili (in particolare, determinazione delle soluzioni costanti) e risoluzione esplicita di un'equazione.
• 26/01/05 (esercitazione):  esercizi sulle equazioni differenziali e di riepilogo.
• 28/01/05:  esercizi di riepilogo tratti da temi d'esame.

Contatti:

• Giulio Schimperna:  telefono 0382/985654, homepage, email, ricevimento martedì 14-16.
• Michele Bricchi:  telefono 0382/985628, homepage, email, ricevimento martedì 14-16.
• Marco Veneroni:  telefono 0382/985612, email.
• Elisa Tenni:  telefono 0382/37861 (N.B.: è un centralino), email.
• Marco Morandotti:   email.
• Alessio Palmero:  email.