Analisi 3,   Equazioni Differenziali e Sistemi Dinamici

IN EVIDENZA:

Appelli della sessione AUTUNNALE: le linee guida di Ateneo prevedono la possibilità di riprendere gli esami in presenza a partire dal 24 agosto. Vista l'esperienza positiva maturata nelle sessioni estive in relazione agli appelli svolti in forma solo orale, intenderei dunque organizzare gli appelli autunnali come segue:
- gli esami si svolgeranno in formato solo orale, salvo nel caso in cui ci sia un alto numero di iscritti (almeno 10) oppure qualcuno degli iscritti all'appello intenda esplicitamente richiedere di sostenere anche una prova scritta;
- chi volesse sostenere l'esame, oltre ad iscriversi tramite Esse3, dovrebbe contattarmi con qualche giorno di anticipo indicando se vuole fare l'orale in presenza o in videoconferenza, e quando (all'incirca) vorrebbe sostenerlo; è possibile sostenere l'esame anche al di fuori delle date "ufficiali" dell'8 e del 22 settembre;
- dal momento che sono previsti due appelli, ciascuno ha diritto a due tentativi (intervallati da una pausa di almeno 10 giorni): se va male il primo, si può riprovare.

Esami orali: chi dovesse sostenere esami orali relativi ad appelli della sessione invernale può in ogni momento contattarmi per email per concordare una data per svolgere l'orale in forma telematica. Rimane comunque possibile posticipare l'orale a un momento in cui sarà possibile sostenerlo "in presenza". Il giudizio conseguito nelle prova scritta resta comunque valido.

Appelli delle sessioni estiva e autunnale:
Giovedì 18 giugno, ore 9.30, aula C8; iscrizione entro il 15 giugno;
Giovedì 9 luglio, ore 9.30, aula E10; iscrizione entro il 6 luglio;
Martedì 8 settembre, ore 9.30, aula C8; iscrizione entro il 3 settembre;
Martedì 22 settembre, ore 9.30, aula C8; iscrizione entro il 17 settembre.
Si raccomanda di rispettare i termini per l'iscrizione in modo da poter stabilire per tempo se svolgere o meno la prova scritta.

2. 01/10/19. Introduzione al corso. Classificazione delle equazioni differenziali per tipologie. Problemi significativi nello studio delle equazioni differenziali ordinarie.
4. 04/10/19. Elementi di topologia degli spazi normati. Alcuni esempi di spazi completi e non. Norme "del sup" e "dell'integrale". Spazi metrici. Concetto di soluzione di un problema di Cauchy.
   
   
6. 08/10/19. Soluzioni "in piccolo" del problema di Cauchy. Regolarità. Trattazione delle equazioni di ordine superiore al primo. Problemi "ai limiti". Teorema delle contrazioni e dimostrazione.
8. 11/10/19. Esempi ed osservazioni legati al teorema delle contrazioni. Teorema di esistenza e unicità in piccolo e dimostrazione. Osservazioni ed esempi vari (esplosione, nonunicità)
   
   
10. 15/10/19. Prolungamento delle soluzioni. Soluzioni massimali. Lemma sulle estensioni di funzioni Lipschitz. Criterio di "non massimalità". Esempi. Lemma di Gronwall.
13. 18/10/19. Teorema di esistenza e unicità "in grande", dimostrazione e considerazioni varie. Equazioni a variabili separabili. Alcuni esempi ed esercizi. Dipendenza continua dai dati (introduzione).
    
    
15. 22/10/19. Dipendenza continua dai dati (enunciato e dimostrazione); teorema del confronto, dimostrazione ed esempi di applicazione.
17. 25/10/19. Introduzione ai sistemi lineari. Norme di matrici. Applicabilità del teorema di esistenza e unicità "in grande". Equazioni omogenee, esercizi.
    
    
19. 29/10/19. Equazioni autonome del secondo ordine. Esercizi. Struttura dell'insieme delle soluzioni di un'equazione lineare. Matrici fondamentali e matrice risolvente.
    
    
21. 05/11/19. Metodo della variazione delle costanti. Alcuni esempi ed esercizi nel caso scalare. Matrice esponenziale. Nel caso vettoriale a coefficienti costanti la matrice esponenziale è risolvente.
24. 08/11/19. Cambiamenti di coordinate e matrice esponenziale. Caso diagonalizzabile. Caso non diagonalizzabile con autovalori reali. Autospazi generalizzati. Forma canonica di Jordan. Esempi ed esercizi.
    
    
26. 12/11/19. Calcolo della matrice esponenziale nel caso di matrici riconducibili alla forma canonica di Jordan. Trattazione degli autovalori complessi regolari e non. Svolgimento di esercizi.
28. 15/11/19. Svolgimento di uno studio qualitativo. Equazioni della forma y'=g(ax+by). Metodo della variazione delle costanti per i sistemi. Wronskiano. Esempi.
    
    
30. 19/11/19. Metodo diretto per la trattazione delle equazioni lineari scalari a coefficienti costanti di ordine superiore al primo. Secondi membri di tipo esponenziale o trigonometrico. Esercizi.
33. 22/11/19. Equazioni di Bernoulli. Stabilità dei sistemi lineari. Punti critici. Decadimento esponenziale dei sistemi lineari.
    
    
35. 26/11/19. Spazi stabile, instabile, centro. Classificazione dei punti critici dei sistemi lineari bidimensionali.
37. 29/11/19. Esempi ed esercizi vari. Studio esplicito delle traiettorie di un sistema lineare bidimensionale. Passaggio in coordinate polari.
    
    
40. 06/12/19. Metodo di linearizzazione. Proprietà generiche ed applicazione ai sistemi nonlineari bidimensionali. Punti critici stabili, asintoticamente stabili, instabili. Studio qualitativo di un sistema non lineare.
    
    
42. 10/12/19. Teorema di Liapounov e dimostrazione. Funzionali di Liapounov stretti. Sistemi gradiente. Integrali primi. Svolgimento di un esercizio.
44. 13/12/19. Oscillatore non lineare smorzato. Insiemi positivamente e completamente invarianti. ω-limiti. Vari esempi. Abbassamento di ordine di un'equazione lineare di cui si conosce una soluzione.
    
    
46. 17/12/19. Richiami sugli spazi metrici compatti. Teorema di Ascoli e dimostrazione. Alcuni esempi e controesempi. Teorema di Peano (introduzione).
48. 20/12/19, ORE 9.15-11. Teorema di Peano e dimostrazione. Soluzione "minima" e "massima" di un problema di Cauchy. "Pennello" di Peano.
    
    
50. 07/01/20. Esercizi in preparazione alla prova scritta. Svolgimento di temi d'esame.
52. 10/01/20. Esercizi in preparazione alla prova scritta. Svolgimento di temi d'esame.

2. 03/10/19. Successioni di funzioni. Convergenza puntuale e convergenza uniforme. La convergenza uniforme conserva limitatezza e continuità. Criterio di Cauchy uniforme. Alcuni esempi.
3. 04/10/19. Rapporti tra convergenza uniforme, integrabilità e derivabilità. Teorema di "derivazione per serie" e dimostrazione.
   
   
4. 11/10/19. Alcuni esempi relativi alla convergenza uniforme. Esercizi. Serie di funzioni e tipi di convergenza.
   
   
6. 14/10/19 Convergenza totale. Criterio di Weierstrass (convergenza totale implica assoluta e uniforme). Esempi. Serie di potenze. Teorema del raggio di convergenza e dimostrazione.
8. 17/10/19. Richiami sul limsup. Determinazione del raggio di convergenza. Derivazione e integrazione delle serie di potenze. Regolarità della somma di una serie di potenze. Funzione ultrapiatta.
   
   
10. 24/10/19. Funzioni analitiche reali. Condizioni di Cauchy per l'analiticità (dimostrazione solo della sufficienza). Prodotto alla Cauchy di due serie di potenze (con dimostrazione). Qualche esercizio.
11. 25/10/19. Funzioni di variabile complessa. Derivabilità in campo complesso. Esempi. Condizioni di Cauchy-Riemann.
    
    
13. 31/10/19. Differenziabilità di una funzione di variabile complessa che sia somma di una serie di potenze. Funzioni seno, coseno ed esponenziale in campo complesso. Integrale di una funzione di variabile complessa lungo un cammino e considerazioni varie. Forme differenziali associate.
    
    
15. 11/11/19 (recupero delle ore perse il 7/11). Legame tra funzioni olomorfe e forme differenziali chiuse. Lemma di Poincaré. Teorema di Cauchy in un triangolo. Conseguenza: ogni funzione olomorfa su un aperto stellato ammette primitiva.
17. 14/11/19. Formula integrale di Cauchy. Analiticità delle funzioni olomorfe. Conseguenze varie. Formula di Cauchy per le derivate. Calcolo di alcuni integrali utilizzando la formula di Cauchy.
18. 15/11/19. Teorema di Morera. Teorema di Liouville. Teorema fondamentale dell'algebra. Caratterizzazione degli zeri delle funzioni olomorfe. Principio di identità delle funzioni analitiche.
    
    
20. 21/11/19. Relazioni tra analiticità reale e complessa. Singolarità isolate e serie di Laurent. Esempi. Classificazione delle singolarità isolate (inizio).
    
    
22. 28/11/19. Classificazione delle singolarità isolate (continuazione). Teorema di Casorati-Weierstrass. Indice di avvolgimento.
23. 29/11/19. Teorema dei residui e dimostrazione.
    
    
25. 12/12/19. Teorema dei residui: fine della dimostrazione e commenti. Formule per il calcolo dei residui, esempi. Metodi di integrazione basati sul teorema dei residui (prima parte).
26. 13/12/19. Lemma di Jordan e applicazioni al calcolo degli integrali. Trattazione dei poli del primo ordine.
    
    
28. 16/12/19 (recupero delle ore perse il 5/12). - Formule di Cauchy-Riemann in coordinate polari. Funzioni polidrome. Logaritmo in campo complesso. Potenze a esponente non intero. Applicazioni al calcolo di integrali. Residuo all'infinito (introduzione).
30. 19/12/19.
    
    
32. 08/01/20. Esercizi in preparazione alla prova scritta. Svolgimento di temi d'esame.

MATERIALE E LIBRI DI TESTO

TEMI D'ESAME

Prova scritta del 05/09/2019: testo degli esercizi.

Prova scritta del 17/06/2019: testo degli esercizi.

Prova scritta del 14/02/2019: testo degli esercizi.

Prova scritta del 21/01/2019: testo degli esercizi.

Prova scritta del 25/09/2018: testo degli esercizi.

Prova scritta del 04/09/2018: testo degli esercizi.

Prova scritta del 26/06/2018: testo degli esercizi.

Prova scritta del 26/02/2018: testo degli esercizi.

Prova scritta del 30/01/2018: testo degli esercizi.

MODALITÀ D'ESAME

L'esame sarà costituito da una prova scritta e da un orale.
Nel caso gli iscritti ad un appello siano non più di 3, la prova scritta viene svolta solo se qualcuno degli studenti iscritti lo richiede esplicitamente. In caso contrario, l'esame si svolge in forma solo orale (in questo caso l'orale avrà una durata maggiore).
Se gli iscritti sono almeno 4, la prova scritta viene svolta in ogni caso.
Si raccomanda dunque di iscriversi con almeno 3 giorni (lavorativi) di anticipo rispetto alla data dell'appello (per esempio se l'appello è fissato per martedì 22, le iscrizioni andrebbero fatte entro la sera di giovedì 17).
Non ci sono soglie di ammissione all'orale, tuttavia l'andamento dello scritto influenzerà il voto finale.