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Nota del 31/10/07: Questa pagina web non sarà più aggiornata.
Da questo momento tutte le informazioni verranno comunicate nella nuova
homepage relativa al corso 2007/08.
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web del Corso A (docente Annalisa Buffa).
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INDICE
- Informazioni generali sul corso
- Programma
- Materiale scaricabile
- Riassunto degli argomenti trattati a lezione
- Contatta i docenti e i tutori
Informazioni generali
per l'anno 2006/07:
- Docenti:
Annalisa Buffa (corso A) e
Giulio Schimperna (corso B)
per le lezioni;
Simone Scacchi (corso A) e Marco Morandotti
(corso B) per le esercitazioni.
- Orario lezioni:
lunedì e mercoledì ore 11-13
aula A4 (corso A);
lunedì e mercoledì ore 9-11, aula B4 (corso B).
Si segnala che durante il mese di gennaio sono previste 2 ore aggiuntive
(probabilmente il venerdì mattina).
- Appelli d'esame:
nel corso dell'Anno Accademico 2006/07 saranno fissati quattro
appelli d'esame regolari, due dei quali nel mese di febbraio
2007, uno nel mese di luglio e uno nel mese di settembre.
Inoltre, potranno essere eventualmente concessi
appelli straordinari durante il periodo di svolgimento
delle lezioni, i quali saranno
riservati unicamente ai laureandi.
- Libro di testo:
Paolo Marcellini, Carlo Sbordone, "Elementi di
Analisi Matematica uno",
Liguori
Editore. La stessa casa editrice
pubblica testi di "Esercitazioni di Matematica"
(Volume 1, parti prima e seconda) degli stessi
autori. Si noti che l'acquisto di tali eserciziari
non è richiesto;
la referenza è data solo a scopo indicativo.
Programma per l'anno 2006/07:
- richiami di logica e teoria degli insiemi, insiemi numerici,
concetto di funzione, funzioni elementari e loro grafici;
- successioni, concetto di limite, successioni
convergenti, divergenti e oscillanti;
- limiti di funzioni, strumenti per il calcolo di limiti,
funzioni continue e punti di discontinuità, principali
proprietà delle funzioni continue;
- derivate, verifica della derivabilità, calcolo delle derivate,
teoremi fondamentali del calcolo differenziale, applicazioni del
calcolo differenziale al calcolo di limiti ed allo studio di funzioni;
- integrale definito e integrale indefinito,
interpretazione geometrica, teorema fondamentale del calcolo
integrale, integrazione per parti e per sostituzione, calcolo di integrali;
- nozioni di algebra lineare: matrici, determinanti. Risoluzione
di sistemi di equazioni lineari;
- introduzione alle equazioni differenziali, equazioni a variabili
separabili, equazioni lineari del primo ordine, equazioni lineari del
secondo ordine a coefficienti costanti, esempi tratti da applicazioni
fisiche e biologiche.
N.B.: al termine del corso sarà fornito un programma
più dettagliato e contenente indicazioni precise
sugli argomenti più importanti ai fini dell'esame.
Materiale scaricabile.
Ulteriore materiale, in particolare esercizi tratti da temi di esame
più vecchi,
è disponibile presso la
pagina web
di Michele Bricchi.
Riassunto degli argomenti trattati a
lezione. N.B.: quanto segue si riferisce al corso B. Il corso A procede
comunque grosso modo in parallelo.
- 04/10/06: introduzione al corso. Linguaggio matematico:
proposizioni e predicati, tabelle di verità,
connettivi logici ("e", "o", "non", "implica", doppia
implicazione), quantificatori. Concetti di "definizione" e di
"teorema"; dimostrazione diretta e per assurdo.
- 09/10/06: negazione di proposizioni
contenenti quantificatori. Notazioni e richiami di teoria degli
insiemi. Relazioni d'ordine e di equivalenza. Proprietà
dei numeri reali relative a somma, prodotto, ordinamento.
Insiemi limitati.
- 11/10/06: massimi, minimi, maggioranti, minoranti.
Estremo superiore e sue caratterizzazioni.
Assioma di completezza (come esistenza dell'estremo
superiore). Retta reale, intervalli. Esistenza dell'elemento
separatore ed equivalenza tra questa condizione e la completezza.
Concetto di funzione; dominio, codominio, variabile indipendente
e variabile dipendente.
- 16/10/06 (esercitazione): esercizi su numeri reali,
insiemi limitati, maggioranti, minoranti, massimi, minimi,
estremo superiore e inferiore. Funzioni elementari: rette,
potenze ad esponente intero.
- 18/10/06: funzioni: codominio e spazio immagine.
Campo di esistenza. Grafico. Immagine e controimmagine
di un insieme. Controimmagine di un punto. Rappresentazione
grafica delle funzioni reali di variabile reale. Funzioni iniettive,
suriettive, biettive. Funzione inversa. Relazione tra il grafico
di una funzione e quello della sua inversa. Calcolo della funzione
inversa. Definizione di funzione composta. Esempi vari.
- 23/10/06: determinazione del dominio della
funzione composta. Confronto di funzioni. Funzioni limitate.
Massimi e sup di funzioni. Punti di massimo e valore massimo.
Successioni. Definizione di limite e sua interpretazione
grafica.
- 25/10/06 (esercitazione): funzioni elementari
(potenze a esponente qualunque, esponenziali, funzioni
trigonometriche).
- 30/10/06: verifica diretta della definizione
di limite. Unicità del limite. Definizione di limite
infinito. Successioni limitate. Successioni oscillanti.
Relazioni tra convergenza e limitatezza. Teorema su limiti
di somme, prodotti, quozienti. Il caso degli infiniti.
- 06/11/06: ancora sulle regole di calcolo
dei limiti. Forme indeterminate. Infiniti di tipo esponenziale,
potenza, logaritmo. Teoremi sui limiti: permanenza del
segno, due carabinieri. Successioni monotone.
- 08/11/06 (esercitazione):
esercizi sulle successione; in particolare, forme indeterminate
infinito su infinito.
- 13/11/06: Teorema fondamentale delle successioni
monotone, dimostrazione. Numero e. Fattoriali e loro comportamento
all'infinito. Intorni di un punto e di infinito. Definizioni di limite
per funzioni, interpretazione geometrica, commenti.
- 15/11/06: Limite destro e sinistro. Intorni.
Definizioni equivalenti di limite:
usando gli intorni, usando le successioni. Teoremi sui limiti:
somme, prodotti, quozienti, permanenza del segno. Forme indeterminate.
Esempi. Funzioni continue. Continuità in un intervallo.
Punti di discontinuità e loro classificazione. Un esempio di
verifica della continuità.
- 20/11/06: Teorema su limite e continuità di
funzioni composte. Applicazione al calcolo di
limiti. Teoremi "globali" sulle funzioni continue: teorema degli
zeri, teorema di Weierstrass, teorema dei valori intermedi.
Continuità della funzione inversa. Rapporto incrementale.
Funzioni monotone e segno del rapporto incrementale. Definizione
di derivata; interpretazione geometrica. Rette secanti
e retta tangente.
- 22/11/06 (esercitazione): esercizi su limiti
di funzioni, funzioni continue (in particolare, verifica della
continuità).
- 27/11/06: ancora sull'interpretazione geometrica
e fisica del concetto di derivata. Derivate di somme,
prodotti, quozienti. Derivata della funzione composta
e della funzione inversa.
Derivate delle funzioni elementari (tabella).
- 29/11/06 (esercitazione): esercizi sul
calcolo di derivate. Esercizi di riepilogo in preparazione
alla prova in itinere.
- 01/12/06: esercizi sul calcolo di derivate
e di riepilogo in preparazione alla prima prova in itinere.
- 11/12/06: estremi relativi, teorema di Fermat.
Teoremi di Rolle, Lagrange, della derivata nulla, di monotonia.
Applicazione di questi risultati. Esempi e controesempi vari.
- 13/12/06: Funzioni convesse e concave e loro
caratterizzazione. Flessi. Cuspidi.
Formula di De L'Hopital e applicazione
al calcolo di limiti. Cenni sulla formula di Taylor
con resto in forma di Peano.
- 18/12/06 (esercitazione): esercizi su massimi,
minimi, asintoti, monotonia, concavità, convessità, flessi.
Studi di funzione.
- 20/12/06: definizione di integrale definito
secondo Riemann. Integrale e area: interpretazione geometrica.
Funzioni integrabili e non. Proprietà elementari dell'integrale:
linearità, additività, monotonia, confronto.
Integrali su intervalli orientati.
- 08/01/07: Teorema della media. Primo teorema
fondamentale del calcolo (o di derivazione della funzione integrale).
Funzione integrale e primitive. Teorema di caratterizzazione delle
primitive. Integrale indefinito. Formula fondamentale del calcolo
integrale.
- 10/01/07 (esercitazione): esercizi su studi di funzione,
calcolo di limiti utilizzando la formula di Taylor, integrali.
- 12/01/07: Integrazione per parti e per sostituzione.
Esempi concreti ed esercizi. Integrali impropri e loro calcolo.
Integrali impropri convergenti, divergenti, oscillanti (cenni).
- 15/01/07: Ulteriori esercizi sugli integrali impropri.
Equazioni differenziali: introduzione, motivazione "fisica".
Equazioni riconducibili a una integrazione. Problema di Cauchy.
Cenni alla teoria dell'esistenza e unicità delle soluzioni.
Fenomeno dell'esplosione in tempi finiti.
- 17/01/07: Equazioni lineari del primo ordine a
coefficienti variabili. Formula risolutiva. Esercizi.
Equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti.
Interpretazione fisica e condizioni iniziali.
Caso omogeneo: equazione caratteristica, formule risolutive.
- 19/01/07 (esercitazione): esercizi su integrali impropri,
equazioni differenziali.
- 22/01/07: Equazioni lineari del secondo ordine
a coefficienti costanti, caso non omogeneo:
secondi membri di tipo esponenziale, trigonometrico, polinomio.
Esempi ed esercizi. Equazioni a variabili separabili.
Tecnica di risoluzione. Soluzioni stazionarie.
- 24/01/07: Equazioni a variabili separabili:
esempi ed esercizi. Un modello biologico (crescita "logistica").
Esercizi di riepilogo in preparazione all'esame.
- 26/01/07 (esercitazione):
Esercizi di riepilogo, in parte tratti da temi d'esame.
Contatta i docenti e i tutori:
Ultimo aggiornamento il
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