Analisi Matematica 2

IN EVIDENZA:

Lezioni settimana 19-23 maggio. Il Prof. Lisini sarà assente, per motivi personali, per tutta la settimana. Le lezioni di lunedì 19/5 e martedì 20/5 saranno tenute dal prof. Schimperna e dedicate alla risoluzione di esercizi e allo svolgimento di temi d'esame. La lezione di mercoledì 21/5 sarà invece sospesa.

Appelli sessioni estiva e autunnale 2025. Le date proposte per le prove scritte sono fissate come segue:
Giovedì 19 giugno, ore 9.30, aula C8;
Giovedì 3 luglio, ore 9.30, aula C8;
Martedì 22 luglio, ore 9.30, aula C8;
Giovedì 11 settembre, ore 9.30, aula C8.

Modalità d'esame. L'esame sarà in forma scritta e orale (obbligatorio). La prova scritta, indicativamente, consisterà di 3 esercizi, eventualmente articolati in più punti, da svolgersi su foglio protocollo.

Registrazioni delle lezioni. Le registrazioni delle lezioni 2020/21 sono disponibili al seguente link.

RISULTATI delle prove scritte

TUTORATO

1. Esercizi su equazioni differenziali
2. Esercizi su spazi metrici, continuità
3. Esercizi su spazi calcolo differenziale
4. Esercizi su Taylor, massimi e minimi liberi, convessità
5. Esercizi su misura e integrazione
6. Esercizi su funzioni implicite, invertibilità locale
7. Esercizi su estremi vincolati, forme differenziali
8. Esercizi su forme differenziali (e applicazioni alle equazioni differenziali)
9. Esercizi su teoremi della divergenza e di Stokes
10. Esercizi di riepilogo

1. Esercizi su equazioni differenziali, spazi metrici
2. Esercizi su limiti e continuità in più variabili
3. Esercizi su derivabilità e differenziabilità
4. Esercizi su massimi e minimi liberi, convessità
5. Esercizi su teoria dell'integrazione e integrali multipli
6. Esercizi su funzioni implicite, curve e superfici
7. Esercizi su massimi e minimi vincolati
8. Esercizi sulle forme differenziali
9. Esercizi su divergenza, rotore, analisi vettoriale
10. Esercizi su integrali di linea e superficie, flussi

Calendario (parziale e provvisorio) delle lezioni e riassunto degli argomenti trattati (valido anche come programma del corso).

1. Gio 27/02/25. Introduzione al corso. Convergenza puntuale e convergenza uniforme (per funzioni di una variabile). La convergenza uniforme conserva la continuità. Osservazioni varie ed esempi.
   
   
2. Lun 03/03/25. La convergenza uniforme conserva la limitatezza. Passaggio al limite sotto il segno di integrale (caso delle funzioni continue e caso delle funzioni integrabili e limitate); passaggio al limite sotto il segno di derivata (solo per funzioni C¹). Alcuni esempi e controesempi significativi.
3. Mar 04/03/25. Ulteriori commenti sui teoremi di passaggio al limite. Serie di funzioni. Convergenza puntuale, uniforme, assoluta, "totale". Criterio della convergenza totale, dimostrazione e commenti. Un caso in cui la convergenza è uniforme ma non totale. Alcuni esercizi.
4. Mer 05/03/25. Ulteriori esercizi su successioni e serie di funzioni. Norme e prodotti scalari. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Spazi metrici. Punti interni, aperti, di frontiera.
5. Gio 06/03/25. Topologia. Interno di un insieme e sua caratterizzazione. Chiusura e sua caratterizzazione. Punti di accumulazione. Successioni di Cauchy e convergenti. Completezza. Caratterizzazione della chiusura attraverso i punti limite.
   
   
6. Lun 10/03/25. Relazioni tra "chiuso" e "completo". Teorema di Bolzano-Weierstrass. Compattezza e compattezza per successioni. Teorema di Heine-Borel. Alcuni esempi. Norma "della convergenza uniforme".
7. Mar 11/03/25. Alcuni spazi funzionali importanti (C⁰, C¹) e relative norme. Alcuni esempi relativi a compattezza e completezza. Totale limitatezza. Teorema di caratterizzazione degli spazi metrici compatti (enunciato e dimostrazione di due implicazioni).
8. Mer 12/03/25. Caratterizzazione degli spazi metrici compatti (dimostrazione della terza implicazione). Funzioni continue. Caratterizzazioni locali e globali della continuità. Alcune osservazioni.
9. Gio 13/03/25. Teoremi di Heine-Cantor e Weierstrass in spazi metrici. Norme equivalenti. Teorema di equivalenza delle norme in dimensione finita e dimostrazione.
   
   
10. Lun 17/03/25. Alcuni esempi relativi all'equivalenza di norme. Considerazioni relative al caso degli spazi metrici. La completezza è una "proprietà metrica". Insiemi separati. Connessione (introduzione).
11. Mar 18/03/25. Topologia indotta e caratterizzazione della connessione tramite questa. Teorema "degli zeri" in versione astratta. Rappresentazione grafica delle funzioni di più variabili.
12. Mer 19/03/25. Derivabilità parziale e direzionale. Differenziabilità. Considerazioni varie. Unicità e caratterizzazione del differenziale. Differenziabile implica continua.
    Gio 20/03/25 - Esercitazione. Esercizi di approfondimento e su richiesta degli studenti.
    
    
13. Lun 24/03/25. Conseguenze della linearità del differenziale. Piano tangente. Gradiente e suo significato "geometrico". Teorema del differenziale totale, dimostrazione ed esempi collegati.
14. Mar 25/03/25. Ulteriori esempi sulla differenziabilità. Funzioni C¹. Matrice Jacobiana. Differenziabilità della funzione composta. Casi particolari.
15. Mer 26/03/25. Derivate e differenziali di ordine superiore al primo. Teorema di Schwarz e considerazioni varie. Un esempio in cui le derivate seconde miste non coincidono. Estensione del teorema di Lagrange al caso di funzioni di più variabili.
16. Gio 27/03/25. Svolgimento di alcuni esercizi. Formula di Taylor per funzioni di più variabili. Matrice Hessiana e forma quadratica associata.
    
    
17. Lun 31/03/25. Espressione della formula di Taylor tramite i multi-indici. Estremi relativi. Punti stazionari e teorema di annullamento del gradiente. Teorema del gradiente nullo. Massimi e minimi su S^N-1 della forma quadratica associata a una matrice simmetrica (inizio).
18. Mar 01/04/25. Massimi e minimi su S^N-1 della forma quadratica associata a una matrice simmetrica (continuazione). Determinazione dei massimi e dei minimi attraverso lo studio della forma quadratica associata alla matrice Hessiana. Alcuni esempi.
19. Mer 02/04/25. Esempi ed esercizi relativi alla determinazione degli estremi relativi. Funzioni convesse. Uso della convessità per caratterizzare i punti stazionari. Funzioni monotone (cenni).
    Gio 03/04/25 - Esercitazione. Esercizi di approfondimento e su richiesta degli studenti.
    
    
20. Lun 07/04/25. Ulteriori considerazioni sulle funzioni monotone. Definizione di integrale di una funzione di due variabili definita su un rettangolo. Considerazioni varie. Integrabilità delle funzioni continue.
21. Mar 08/04/25. Proprietà elementari delle funzioni integrabili. Teorema di riduzione e dimostrazione. Funzione caratteristica. Misura di Peano-Jordan. Insiemi di misura nulla e loro caratterizzazione (enunciato).
22. Mer 09/04/25. Caratterizzazione degli insiemi misurabili e di quelli di misura nulla (continuazione). Proprietà della misura di Peano-Jordan. Ulteriori considerazioni sulla classe delle funzioni integrabili. Funzione di Thomae. Formule di riduzione su insiemi "normali" rispetto agli assi coordinati.
23. Gio 10/04/25. Un esercizio sulle formule di riduzione. Teorema di cambiamento di variabile, cenni di dimostrazione e considerazioni varie. Coordinate polari nel piano. Coordinate curvilinee ortogonali.
    
    
24. Lun 14/04/25. Svolgimento di esercizi. Integrali tripli e formule di riduzione nel caso tridimensionale. Coordinate cilindriche e sferiche nello spazio.
25. Mar 15/04/25. Alcuni esercizi. Curve "regolari" in R^N. Curve chiuse, curve semplici, sostegno. Vettore tangente. Lunghezza di una curva e giustificazione attraverso le poligonali inscritte.
26. Mer 16/04/25. Rettificabilità. Riparametrizzazioni. Integrali su curve. Curve "regolari a tratti". Ogni curva in R² è localmente un grafico. Lunghezza d'arco. Spazio tangente e spazio normale.
    
    PASQUA
    
    
27. Lun 28/04/25. Insiemi di livello di funzioni di due variabili. Teorema della funzione implicita in dimensione 2 (con dimostrazione). Ortogonalità del gradiente alle curve di livello.
28. Mar 29/04/25. Regolarità della funzione implicita. Derivate successive alla prima. Esercizi su funzioni definite implicitamente. Teorema della funzione implicita (caso generale). Problema dell'invertibilità di funzioni C¹ di più variabili: esempi.
29. Mer 30/04/25. Teorema di invertibilità locale. Esempio della necessità dell'ipotesi C¹ per il Teorema di invertibilità. Superfici parametrizzate in Rⁿ, n>2: definizione di superficie regolare, piano tangente.
    
    
30. Lun 05/05/2025. Versore normale alle superfici in R³. Esempi di superfici grafico e di superfici di rotazione. Definizione di area di superficie in R³ (giustificazione della definizione).
31. Mar 06/05/2025. Esempi di calcolo area di superfici. Area delle superfici di rotazione. Integrali di superficie. Riparametrizzazioni equivalenti. Invarianza del piano tangente, dell'area e dell'integrale di superficie per riparametrizzazioni equivalenti.
32. Mer 07/05/2025. Problemi di massimo e minimo vincolato. Teorema del moltiplicatore di Lagrange in R² (con dimostrazione). Applicazioni ed esercizi. Teorema del moltiplicatore di Lagrange in R³ con vincolo superficie (con dimostrazione).
33. Gio 08/05/25. Teorema dei moltiplicatori di Lagrange (in R³ con due vincoli, con dim.). Cenno alle varietà n-m dimensionali in Rⁿ, spazio tangente e normale. Teorema dei moltiplicatori di Lagrange, caso generale (solo enunciato). Esercizi su minimi vincolati.
    
    
34. Lun 12/05/2025. Forme differenziali lineari: definizione ed esempi. Forme esatte e primitive. Esempi elementari di forme esatte e non esatte. Curve C¹ a tratti, relazione di equivalenza su curve orientate. Cammini, somma di cammini, cammino opposto.
35. Mar 13/05/2025. Integrale di forme differenziali su cammini. Proprietà dell'integrale. Aperto connesso implica connesso per cammini (con dim.). Teorema di caratterizzazione delle forme differenziali esatte per mezzo dell'integrale sui cammini (con dimostrazione).
    
    
36. Lun 19/05/2025. Esercizi su baricentri e solidi di rotazione. Svolgimento di temi d'esame.
37. Mar 20/05/2025. Svolgimento di temi d'esame.

LIBRO DI TESTO

Testo in adozione:
Carlo Domenico Pagani - Sandro Salsa, "Analisi Matematica 2", Zanichelli.

Altri testi consigliati:
Enrico Giusti, "Analisi Matematica 2", Bollati - Boringhieri.
Gianni Gilardi, "Analisi due", McGraw - Hill Italia.

RACCOLTA DI ESERCIZI SVOLTI (a cura del Prof. Enrico Vitali)

1. Esercizi su topologia di R^N, spazi metrici
2. Esercizi su limiti e continuità
3. Esercizi su derivabilità e differenziabilità (prima parte)
4. Esercizi su derivabilità e differenziabilità (seconda parte)
5. Esercizi sui polinomi di Taylor
6. Esercizi su massimi e minimi liberi
7. Esercizi su integrali in più variabili
8. Esercizi su integrali di linea e di forme differenziali
9. Esercizi su massimi e minimi vincolati

TEMI D'ESAME ANNO 2023/24

Appello del 23/07/2024: scritto,

Appello del 09/07/2024: scritto,

Appello del 20/06/2024: scritto, soluzioni.

TEMI D'ESAME ANNO 2022/23

Appello del 14/02/2024: scritto, soluzioni.

Appello del 17/01/2024: scritto, soluzioni.

Appello del 13/09/2023: scritto,

Appello del 24/07/2023: scritto, soluzioni.

Appello del 05/07/2023: scritto, soluzioni.

Appello del 20/06/2023: scritto, soluzioni.

TEMI D'ESAME ANNO 2021/22

Appello del 15/02/2023: scritto, prescritto con risultati, traccia di svolgimento scritto.

Appello del 18/01/2023: scritto, prescritto con risultati, traccia di svolgimento scritto.

Appello del 15/09/2022: scritto, prescritto (guardare solo le prime due versioni, nelle altre le costanti non sono controllate).

Appello del 26/07/2022: scritto, prescritto (guardare solo le prime due versioni, nelle altre le costanti non sono controllate), risultati prescritto, traccia di svolgimento scritto.

Appello del 06/07/2022: scritto, prescritto (guardare solo le prime due versioni, nelle altre le costanti non sono controllate), soluzioni.

Appello del 16/06/2022: scritto, prescritto (guardare solo le prime due versioni, nelle altre le costanti non sono controllate), soluzioni.

Sono inoltre disponibili due simulazioni del prescritto (prima prova, seconda prova): ciascun file contiene cinque versioni diverse degli stessi esercizi. Disponibile anche la correzione delle simulazioni preparata dal Dott. Bignardi.