Corso di Laurea Triennale in Matematica

Anno Accademico 2024/2025

Analisi Matematica 2

docente Giulio Schimperna


IN EVIDENZA:

Esercitazione in aula. Giovedì 3 aprile la lezione sarà sostituita da due ore di "approfondimento informale" dedicate alla risoluzione di esercizi e al chiarimento di eventuali dubbi.

Appelli sessioni estiva e autunnale 2025. Le date proposte per le prove scritte sono fissate come segue:
Giovedì 19 giugno, ore 9.30, aula C8;
Giovedì 3 luglio, ore 9.30, aula C8;
Martedì 22 luglio, ore 9.30, aula C8;
Giovedì 11 settembre, ore 9.30, aula C8.

Sessione orali: Per coloro che hanno già sostenuto la prova scritta, ma devono ancora fare l'orale sono disponibili le seguenti date (in aggiornamento):
  giovedì 10/4 ore 13.15-16, aula Beltrami.

Modalità d'esame. L'esame sarà in forma scritta e orale (obbligatorio). La prova scritta, indicativamente, consisterà di 3 esercizi, eventualmente articolati in più punti, da svolgersi su foglio protocollo.

Registrazioni delle lezioni. Le registrazioni delle lezioni 2020/21 sono disponibili al seguente link.

RISULTATI delle prove scritte

TUTORATO

Materiale per tutorato 2023/24 (a cura dei tutori Matteo Fornoni e Giovanni Savaré):
  1. Esercizi su equazioni differenziali
  2. Esercizi su spazi metrici, continuità
  3. Esercizi su spazi calcolo differenziale
  4. Esercizi su Taylor, massimi e minimi liberi, convessità
  5. Esercizi su misura e integrazione
  6. Esercizi su funzioni implicite, invertibilità locale
  7. Esercizi su estremi vincolati, forme differenziali
  8. Esercizi su forme differenziali (e applicazioni alle equazioni differenziali)
  9. Esercizi su teoremi della divergenza e di Stokes
  10. Esercizi di riepilogo
Materiale per tutorato 2022/23 (a cura del tutore 2022/23 Giovanni Bracchi):
  1. Esercizi su equazioni differenziali, spazi metrici
  2. Esercizi su limiti e continuità in più variabili
  3. Esercizi su derivabilità e differenziabilità
  4. Esercizi su massimi e minimi liberi, convessità
  5. Esercizi su teoria dell'integrazione e integrali multipli
  6. Esercizi su funzioni implicite, curve e superfici
  7. Esercizi su massimi e minimi vincolati
  8. Esercizi sulle forme differenziali
  9. Esercizi su divergenza, rotore, analisi vettoriale
  10. Esercizi su integrali di linea e superficie, flussi

Calendario (parziale e provvisorio) delle lezioni e riassunto degli argomenti trattati (valido anche come programma del corso).

  1. Gio 27/02/25. Introduzione al corso. Convergenza puntuale e convergenza uniforme (per funzioni di una variabile). La convergenza uniforme conserva la continuità. Osservazioni varie ed esempi.

  2. Lun 03/03/25. La convergenza uniforme conserva la limitatezza. Passaggio al limite sotto il segno di integrale (caso delle funzioni continue e caso delle funzioni integrabili e limitate); passaggio al limite sotto il segno di derivata (solo per funzioni C1). Alcuni esempi e controesempi significativi.
  3. Mar 04/03/25. Ulteriori commenti sui teoremi di passaggio al limite. Serie di funzioni. Convergenza puntuale, uniforme, assoluta, "totale". Criterio della convergenza totale, dimostrazione e commenti. Un caso in cui la convergenza è uniforme ma non totale. Alcuni esercizi.
  4. Mer 05/03/25. Ulteriori esercizi su successioni e serie di funzioni. Norme e prodotti scalari. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Spazi metrici. Punti interni, aperti, di frontiera.
  5. Gio 06/03/25. Topologia. Interno di un insieme e sua caratterizzazione. Chiusura e sua caratterizzazione. Punti di accumulazione. Successioni di Cauchy e convergenti. Completezza. Caratterizzazione della chiusura attraverso i punti limite.

  6. Lun 10/03/25. Relazioni tra "chiuso" e "completo". Teorema di Bolzano-Weierstrass. Compattezza e compattezza per successioni. Teorema di Heine-Borel. Alcuni esempi. Norma "della convergenza uniforme".
  7. Mar 11/03/25. Alcuni spazi funzionali importanti (C0, C1) e relative norme. Alcuni esempi relativi a compattezza e completezza. Totale limitatezza. Teorema di caratterizzazione degli spazi metrici compatti (enunciato e dimostrazione di due implicazioni).
  8. Mer 12/03/25. Caratterizzazione degli spazi metrici compatti (dimostrazione della terza implicazione). Funzioni continue. Caratterizzazioni locali e globali della continuità. Alcune osservazioni.
  9. Gio 13/03/25. Teoremi di Heine-Cantor e Weierstrass in spazi metrici. Norme equivalenti. Teorema di equivalenza delle norme in dimensione finita e dimostrazione.

  10. Lun 17/03/25. Alcuni esempi relativi all'equivalenza di norme. Considerazioni relative al caso degli spazi metrici. La completezza è una "proprietà metrica". Insiemi separati. Connessione (introduzione).
  11. Mar 18/03/25. Topologia indotta e caratterizzazione della connessione tramite questa. Teorema "degli zeri" in versione astratta. Rappresentazione grafica delle funzioni di più variabili.
  12. Mer 19/03/25. Derivabilità parziale e direzionale. Differenziabilità. Considerazioni varie. Unicità e caratterizzazione del differenziale. Differenziabile implica continua.
    Gio 20/03/25 - Esercitazione. Esercizi di approfondimento e su richiesta degli studenti.

  13. Lun 24/03/25. Conseguenze della linearità del differenziale. Piano tangente. Gradiente e suo significato "geometrico". Teorema del differenziale totale, dimostrazione ed esempi collegati.
  14. Mar 25/03/25. Ulteriori esempi sulla differenziabilità. Funzioni C1. Matrice Jacobiana. Differenziabilità della funzione composta. Casi particolari.
  15. Mer 26/03/25. Derivate e differenziali di ordine superiore al primo. Teorema di Schwarz e considerazioni varie. Un esempio in cui le derivate seconde miste non coincidono. Estensione del teorema di Lagrange al caso di funzioni di più variabili.
  16. Gio 27/03/25. Svolgimento di alcuni esercizi. Formula di Taylor per funzioni di più variabili. Matrice Hessiana e forma quadratica associata.

  17. Lun 31/03/25. Espressione della formula di Taylor tramite i multi-indici. Estremi relativi. Punti stazionari e teorema di annullamento del gradiente. Teorema del gradiente nullo. Massimi e minimi su SN-1 della forma quadratica associata a una matrice simmetrica (inizio).
  18. Mar 01/04/25. Massimi e minimi su SN-1 della forma quadratica associata a una matrice simmetrica (continuazione). Determinazione dei massimi e dei minimi attraverso lo studio della forma quadratica associata alla matrice Hessiana. Alcuni esempi.
  19. Mer 02/04/25. Esempi ed esercizi relativi alla determinazione degli estremi relativi. Funzioni convesse. Uso della convessità per caratterizzare i punti stazionari. Funzioni monotone (cenni).
    Gio 03/04/25 - Esercitazione. Esercizi di approfondimento e su richiesta degli studenti.

  20. Lun 07/04/25.
  21. Mar 08/04/25.
  22. Mer 09/04/25.
  23. Gio 10/04/25.

  24. Lun 14/04/25.
  25. Mar 15/04/25.
  26. Mer 16/04/25.

    PASQUA

    Il calendario successivo alle vacanze di Pasqua sarà pubblicato in seguito.

LIBRO DI TESTO

Testo in adozione:
Carlo Domenico Pagani - Sandro Salsa, "Analisi Matematica 2", Zanichelli.

Altri testi consigliati:
Enrico Giusti, "Analisi Matematica 2", Bollati - Boringhieri.
Gianni Gilardi, "Analisi due", McGraw - Hill Italia.

RACCOLTA DI ESERCIZI SVOLTI (a cura del Prof. Enrico Vitali)

  1. Esercizi su topologia di RN, spazi metrici
  2. Esercizi su limiti e continuità
  3. Esercizi su derivabilità e differenziabilità (prima parte)
  4. Esercizi su derivabilità e differenziabilità (seconda parte)
  5. Esercizi sui polinomi di Taylor
  6. Esercizi su massimi e minimi liberi
  7. Esercizi su integrali in più variabili
  8. Esercizi su integrali di linea e di forme differenziali
  9. Esercizi su massimi e minimi vincolati

TEMI D'ESAME ANNO 2023/24

Appello del 23/07/2024: scritto,

Appello del 09/07/2024: scritto,

Appello del 20/06/2024: scritto, soluzioni.

TEMI D'ESAME ANNO 2022/23

Appello del 14/02/2024: scritto, soluzioni.

Appello del 17/01/2024: scritto, soluzioni.

Appello del 13/09/2023: scritto,

Appello del 24/07/2023: scritto, soluzioni.

Appello del 05/07/2023: scritto, soluzioni.

Appello del 20/06/2023: scritto, soluzioni.

TEMI D'ESAME ANNO 2021/22

Appello del 15/02/2023: scritto, prescritto con risultati, traccia di svolgimento scritto.

Appello del 18/01/2023: scritto, prescritto con risultati, traccia di svolgimento scritto.

Appello del 15/09/2022: scritto, prescritto (guardare solo le prime due versioni, nelle altre le costanti non sono controllate).

Appello del 26/07/2022: scritto, prescritto (guardare solo le prime due versioni, nelle altre le costanti non sono controllate), risultati prescritto, traccia di svolgimento scritto.

Appello del 06/07/2022: scritto, prescritto (guardare solo le prime due versioni, nelle altre le costanti non sono controllate), soluzioni.

Appello del 16/06/2022: scritto, prescritto (guardare solo le prime due versioni, nelle altre le costanti non sono controllate), soluzioni.

Sono inoltre disponibili due simulazioni del prescritto (prima prova, seconda prova): ciascun file contiene cinque versioni diverse degli stessi esercizi. Disponibile anche la correzione delle simulazioni preparata dal Dott. Bignardi.

Ultimo aggiornamento: 2 aprile 2025